הוכח כי <math>\aleph \times \aleph=\aleph </math>
הוכחה: ראינו כי <math>\aleph=|\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\}|=10^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}</math>
דרך א- ישירות מהגדרה. נבחר <math>A=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\},B=A\times A</math> אזי
נגדיר פונקציה <math>A\to A\times A</math> ע"י <math>f(n)\mapsto (f(2n),f(2n+1))</math> . זו פונקציה חח" ועל.
דרך ב- אריתמטיקה- <math>\aleph=10^{\aleph_0}|</math> ולכן <math>\aleph \times \aleph=102^{\aleph_0}\cdot 102^{\aleph_0}=102^{\aleph_0+\aleph_0}=102^{\aleph_0}=\aleph </math>
דרך ג- מהנוסחא- <math>\aleph \times \aleph=max\{\aleph,\aleph\}=\aleph </math>