נסכם בטבלה '''תרגיל.''' כמה פתרונות שלמים אי שליליים יש למשוואה <math>x_1+...+x_n=k</math>? '''פתרון.''' נחלק את התוצאות הבסיסיות והידועותהמספר k לאחדות, ונשים בין האחדות n-1 חוצצים שונים. המשתנה ה-s הוא מספר האחדות שבין החוצץ ה-s לקודמו. למשל נביט בפתרונות שונים למשוואה <math>x_1+x_2+x_3=2</math>: <math>0+1+1\leftrightarrow |1|1</math> <math>0+0+2\leftrightarrow ||11</math> <math>1+0+1\leftrightarrow 1||1</math> אם כן, נספור את מספר האפשרויות לסדר את החוצצים. נשים בשורה את כל האחדות ואת כל החוצצים, סה"כ נקבל <math>n+k-1</math> איברים. מספר האפשרויות לסדר אותם הוא <math>(n+k-1)!</math>. כעת, צריך לחלק בחזרות המיותרות: סדר החוצצים אינו משנה, וכמו כן סדר האחדות אינו משנה. לכן סה"כ מספר האפשרויות הינו <math>{n+k-1\choose k}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}</math> '''תרגיל.''' כמה דרכים יש לבחור k איברים מתוך קבוצה של n איברים כאשר מותר לי לבצע חזרות ולא משנה לי סדר האיברים? דבר ראשון נסביר את התרגיל. נגיד אנו רוצים לבחור 3 מספרים בינאריים כאשר לא חשוב לנו הסדר. אז אפשר לבחור 1 אחד ושני אפסים, או שלושה אפסים, או שתי אחדות ואפס יחיד או שלושה אחדות. '''פתרון.''' נשים לב שזה תרגיל שקול לתרגיל הקודם. נקרא לאיברים בקבוצה <math>a_1,...,a_n</math>. נסמן את מספר הפעמים ש<math>a_n</math> נבחר ב-<math>x_n</math> (שלם אי שלילי). כמובן שסכום <math>x_n</math> חייב להיות k. בדוגמא לעיל נסמן <math>\{0,1\}=\{a_1,a_2\}</math>. בחירת שני אחדות ואפס יחיד שקולה לפתרון המשוואה <math>x_1+x_2=2+1=3</math>, וכדומה. =טבלת סיכום לנוסחאות בסיסיות ידועות=
{| border="1" align="center" style="text-align:center;"
|מספר האפשרויות לבנות סדרה עם k איברים '''שונים''' מתוך קבוצה המכילה n איברים
|<math>\frac{n!}{(n-k)!}</math>
|-
|מספר האפשרויות לבחור k איברים מתוך n איברים כאשר אין משמעות לסדר הבחירה ומותר לחזור על הבחירה
|<math>{n+k-1\choose k}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}</math>
|-
|}
'''תרגיל.''' כמה פתרונות שלמים אי שליליים יש למשוואה <math>x_1+...+x_n=k</math>?