88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד הוכחות למשפטים למבחן

88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד

משפט קנטור על רציפות במ"ש

המשפט

תהי $f:K \to \mathbb{R}^m$ כך ש- $K \subseteq \mathbb{R}^n$ קבוצה קומפקטית ו-$f$ רציפה ב- $K$, אזי f רציפה במ"ש ב-K. (הרצאה 6)

הוכחה

נניח בשלילה ש-f לא רבמ"ש ב-K. אז מתקיים ש-

$\exists \epsilon>0 \forall \delta>0 \exists x',x'' : ||x'-x''||<\delta \land |||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon$.

זה מתקיים לכל דלתא, אז נגדיר סדרה של דלתות באופן הבא: $\delta_k=\frac1k$, ולכל $\delta_k$ נסמן את $x',x''$ בהתאם: $x'_k,x''_k$.

לכן לכל k מתקיים: $||x'_k-x''_k||<\frac1k, |||f(x'_k)-f(x''_k)|||\geq\epsilon>0$

כיוון שכל הנקודות $x'_k$ ב-K, שהיא קבוצה קומפקטית, מתקיימת למת בולצאנו ווירשטראס. כלומר קיימת תת סדרה $\left\{ x_{k_i} \right\}_{i=1}^\infty \to x_0$ שמתכנסת לנקודה $x_0$ שגם היא ב-K (כיוון ש-K סגורה).

נשים לב ש- $x''_{k_i}=x'_{k_i}+(x''_{k_i}-x'_{k_i}) \to x_0 + 0 = x_0$. מתוך הנתון ש- f רציפה ב- $x_0$ נקבל ש- $f(x'_{k_i}) \to f(x_0) , f(x''_{k_i}) \to f(x_0)$ אך אם כך, $\lim_{i\to\infty} (f(x'_{k_i})-f(x''_{k_i}))=f(x_0)-f(x_0)=0$ בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- $|||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon$. משל

היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות

צריך לדעת את 3 הדברים שבחלק זה (המשפטים בהרצאה 7 והדוגמה לקוחה מהתרגול)

משפט 1

תהי $f:\Omega\to\mathbb{R}^m$ כך ש- $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ ותהי $a \in \operatorname{int} \Omega$ כך ש- f דיפ' ב-a. אזי לכל $1\leq j \leq n$ קיימת נגזרת חלקית $\frac{\partial f}{\partial x_j} (a)$ והיא שווה ל- $df_a (e_j)$

(הערה: משפט זה הוא מקרה פרטי למשפט שהוכחנו בהמשך באופן דומה. המשפט אומר ש- $\partial_h f (a)=df_a (h)$ כך ש- $\partial_h f(a) := \lim_{t\to 0} \frac{f(a+th)-f(a)}{t}$ זוהי הנגזרת הכיוונית לפי וקטור h.)

הוכחה 1

$f(a+h)=f(a)+df_a(h)+\epsilon(h)||h||$ כך ש- $\lim_{h\to 0}\epsilon(h)=0$.

לכן,

$f(a+t\cdot e_j)-f(a)=df_a(t\cdot e_j)+\epsilon (t\cdot e_j)\cdot |t|\cdot ||e_j||$

כיוון ש- $||e_j||=1$ והדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי, מקבלים ש-

$\frac{f(a+t\cdot e_j)-f(a)}{t}=df_a(e_j)+\frac{|t|}{t}\epsilon(t\cdot e_j)$

נשים לב שהגורם האחרון שואף ל-0 כש- t שואף ל-0, ולכן נקבל:

$\lim_{t\to 0} \frac{f(a+t\cdot e_j)-f(a)}{t} = df_a(e_j)$ אך אגף שמאל, עפ"י הגדרה, זה $\frac{\partial f}{\partial x_j} (a)$ וקיבלנו את מה שרצינו.

משפט 2

תהי $f:\Omega\to\mathbb{R}^m$ כך ש- $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ ותהי $a \in \operatorname{int} \Omega$ כך ש- f דיפ' ב-a, אזי מתקיים:

$\forall h \in \mathbb{R}^n :df_a(h)= \sum_{j=1}^n (\frac{\partial f}{\partial x_j} (a) \cdot h_j)$

הוכחה 2

יהי $h\in \mathbb{R}^n$ אז $h=(h_1,h_2,...,h_n)=h_1\vec{e_1}+...+h_n\vec{e_n}=\sum_{j=1}^n h_j\vec{e_j}$. מתוך העובדה שהדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי וממשפט 1,

$df_a(h)=h_1 df_a(e_1)+...+h_n df_a(e_n)=h_1\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)+...+h_n\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)\cdot h_j$

דוגמה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל הפונקציה לא דיפרנציאבילית

$f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases}$

הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)

אך הנגזרות החלקיות קיימות:

$\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0} 0 = 0$

ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y

מהגדרה של דיפרנציאל מסדר r לנוסחה עם נגזרות חלקיות

הגדרה

תהי $f \in C^r(U)$ כך ש- U קבוצה פתוחה ומוכלת ב- $\mathbb{R}^n$.

יהי $h \in \mathbb{R}^n$. נגדיר $\varphi(t)=f(a+th)$, אז מתקיים ש- $\varphi$ גזירה r פעמים ב-0.

לכן ניתן להגדיר: $d^rf_a(h):=\varphi^{(r)}(0)$

משפט

$d^rf_a(h)=\sum_{|\alpha| =r} \frac{r!}{\alpha!}D^{\alpha}f(a)\cdot h^\alpha$

(הרצאה 12)

כך ש-

$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)$ מולטי אינדקס

$|\alpha|=\sum_{i=1}^n |\alpha_i|$

$\alpha! = \alpha_1!\cdot ... \cdot \alpha_n!$

$h^\alpha = h_1^{\alpha_1}\cdot ... \cdot h_n^{\alpha_n}$

$D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|} f} {\partial x_1^{\alpha_1} ... \partial x_n^{\alpha_n} }$

הוכחה

להורדת ההוכחה

תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות

המשפט

תהי $f:\Omega \to \mathbb{R}^m$ ותהי נקודה $a\in \operatorname{int} \Omega$

נניח ש-

1. עבור דלתא מספר קטן קיימות $\forall_{1\leq i \leq n}\forall x \in B(a,\delta):\frac{\partial f}{\partial x_i} (x)$

2. כל הנגזרות החלקיות רציפות בכדור הזה.

אזי f דיפ' ב-a. (הרצאה 9)

תנאי מספיק לקיצון מקומי עפ"י הדיפרנציאל השני

המשפט

תהי $f:U\to \mathbb{R}$ כך ש-U קבוצה פתוחה שמוכלת ב- $\mathbb{R}^n$ ו- $f\in C^2(U)$.

תהי $a \in U$ נק' קריטית של f (כלומר $\nabla f(a)=0$) אזי:

1. אם $d^2f_a>0$ אז a מינימום מקומית ממש

2. אם $d^2f_a<0$ אז a מקסימום מקומית ממש

3. אם $d^2f_a$ לא שומרת סימן אז a לא קיצון.

(הרצאה 15)

משפט פונקציה סתומה - משוואה אחת

משפט

תהי $W \subseteq \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}$ קבוצה פתוחה ותהי $F:W\to \mathbb R$ כך ש- $F \in C^r (W)$

נתונה הנקודה $(a,b)$ כך ש-

1. $F(a,b)=0$

2. $\frac{\partial f}{\partial y} (a,b)\neq 0$ (כאשר y זה המשתנה ה- n+1)

אזי קיימות סביבות $a \in U , b \in V$ כך ש- $\forall_{x \in U} \exists!_{y \in V} : F(x,y)=0$.

כלומר קיימת פונקציה $\varphi:U\to V$ כך ש- $F(x,\varphi(x))=0$. בנוסף $\varphi \in C^r(U)$

(הרצאה 16)

קריטריון רימן לאינטגרביליות

משפט

תהי $f:P\to \mathbb{R}$ כך ש- $\exists C \forall x \in P: ||f(x)||\leq C$, אזי $f \in \mathcal{R}(P)$ (אינטגרבילית לפי רימן) אם ורק אם

$\forall \epsilon>0 \exists \mathcal{P} : 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})-\underline{S}(f,\mathcal{P}) < \epsilon$

כלומר לכל אפסילון קיימת חלוקה כך שההפרש בין הסכומים העליוניים לתחתוניים קטן מאפסילון.

(הרצאה 21)

הוכחה

משמאל לימין:

יהי $\epsilon>0$ אזי קיימת חלוקה $\mathcal{P}$ כך ש- $0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})-\underline{S}(f,\mathcal{P})< \epsilon$. כלומר $0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})<\underline{S}(f,\mathcal{P})+ \epsilon$ ומכאן ש- $\bar{I}(f)=\operatorname{inf}_{\mathcal Q} \bar{S}(f, \mathcal Q) < \underline{S}(f,\mathcal{P})+ \epsilon$

אז $\bar{I}(f)-\epsilon<\underline{S}(f,\mathcal{P})\leq \operatorname{sup}_{\mathcal Q} \underline{S}(f,\mathcal{Q}) = \underline{I}(f)$ ולכן $\overline{I}(f)-\underline{I}(f)<\epsilon$ לכל אפסילון גדול מ-0. לכן $\overline{I}(f)-\underline{I}(f)=0$ ואז $\overline{I}(f)=\underline{I}(f)$. אז $f \in \mathcal{R} (P)$

מימין לשמאל:

נניח $f \in \mathcal{R} (P)$ אז $\overline{I}(f)=\operatorname{inf}_{\mathcal Q} \bar{S}(f, \mathcal Q)=\operatorname{sup}_{\mathcal Q} \underline{S}(f,\mathcal{Q}) =\underline{I}(f)=I(f)$

יהי אפסילון גדול מ-0

אז

$\exists \mathcal Q : I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q})\leq I(f)$

$\exists \mathcal P : I(f)+\frac\epsilon2 > \bar S(f,\mathcal{P})\geq I(f)$

לכן קיימות חלוקות $\mathcal {P , Q}$ כך ש-

$I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q}) \leq \bar S(f,\mathcal{P}) < I(f)+\frac\epsilon2$

נגדיר $\mathcal T := \mathcal P \cap \mathcal Q$ (לא מצאתי דרך לבטא את החיתוך עם העיגול מעל. זה הכוונה פה)

$I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q})\leq\underline{S}(f,\mathcal{T})\leq \bar S(f,\mathcal{T})\leq \bar S(f,\mathcal{P}) < I(f)+\frac\epsilon2$

$\bar S(f,\mathcal{T}) -\underline{S}(f,\mathcal{T}) < I(f)+\frac\epsilon2-(I(f)-\frac\epsilon2)=\epsilon$

משל