נכתב ע"י אופק גילון, לקוח מההרצאות של מרק אגרנובסקי תשע"ד
==פונקציה בה הגבולות המחוזררים קיימים, שווים, אך גבול לא קיים==
<math>f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}</math>
נראה כי <math>f(x,0)=f(0,y)=0\neq1=f(x,x)</math> ולכן הגבולות המחוזררים הם 0 אך אין גבול
==פונקציה רציפה לכל משתנה בנפרד אבל לא רציפה==
<math>f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2} \ \text{if} x^2+y^2\neq0 \\ 0 \ \text{else} \end {cases}</math>
לא קיים גבול ב-0 ולכן הפונקציה לא רציפה שם.
אך <math> f(0,y)=0</math> וגם <math>f(x,0)=0</math> ולכן <math>\lim_{x\to 0} f(x,0) = \lim_{y\to 0} f(0,y) = f(0,0) = 0</math>
==פונקציה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל לא דיפרנציאבילית==
<math>f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases}</math>
<math>\frac{\partial f}{\partial x} (x,0) = -\frac{2}{x}\cdot \cos(\frac1{x^2})</math> - לא חסומה, ובאופן דומה הנגזרת החלקית לפי y
==פונקציה שהנגזרות החלקיות לא מתחלפות==
<math>f(x,y)=\begin{cases}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \ \text{if}\ x^2+y^2\neq 0 \\ 0 \ \text{else} \end{cases}</math>
<math>\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial y} (x,0)-\frac{\partial f}{\partial y} (0,0)}{x}</math>
<math>\frac{\partial f}{\partial y} (0,0)=0 , \ \ \frac{\partial f}{\partial y} (x,0)=\lim_{y\to 0} \frac{f(x,y)-f(x,0)}{y}=x</math>
אז
<math>\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{x-0}{x}=1</math>
אבל <math>f(x,y)=-f(y,x)</math> אז <math>\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) (0,0) = \lim_{y\to 0} \frac{-y-0}{y}=-1</math>
כלומר
<math>\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) (0,0) \neq \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (0,0)</math>