88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד פונקציות מפריכות

פונקציה בה הגבולות המחוזררים קיימים, שווים, אך גבול לא קיים

$f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}$

נראה כי $f(x,0)=f(0,y)=0\neq1=f(x,x)$ ולכן הגבולות המחוזררים הם 0 אך אין גבול

פונקציה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל לא דיפרנציאבילית

$f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases}$

הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)

אך הנגזרות החלקיות קיימות:

$\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0} 0 = 0$

ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y

פונקציה דיפרנציאבילית אבל הנגזרות החלקיות לא רציפות

$f(x)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin(\frac{1}{x^2+y^2}) \ \text{if} \ x^2+y^2\neq 0 \\ 0\ \text{else}\end{cases}$

נשים לב ש- f דיפ' ב-0 והדיפרנציאל הוא $df_{(0,0)}\equiv 0$ אך $\frac{\partial f}{\partial x} ,\frac{\partial f}{\partial y}$ לא חסומות סביב (0,0):

$\frac{\partial f}{\partial x} (x,0) = -\frac{2}{x}\cdot \cos(\frac1{x^2})$ - לא חסומה, ובאופן דומה הנגזרת החלקית לפי y