88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד פונקציות מפריכות

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־11:15, 30 בינואר 2016 מאת Ofekgillon10 (שיחה | תרומות)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

נכתב ע"י אופק גילון, לקוח מההרצאות של מרק אגרנובסקי תשע"ד

פונקציה בה הגבולות המחוזררים קיימים, שווים, אך גבול לא קיים

f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}

נראה כי f(x,0)=f(0,y)=0\neq1=f(x,x) ולכן הגבולות המחוזררים הם 0 אך אין גבול

פונקציה רציפה לכל משתנה בנפרד אבל לא רציפה

עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \end לא מוכרת): f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2} \ \text{if} x^2+y^2\neq0 \\ 0 \ \text{else} \end {cases}

לא קיים גבול ב-0 ולכן הפונקציה לא רציפה שם.

אך  f(0,y)=0 וגם f(x,0)=0 ולכן \lim_{x\to 0} f(x,0) = \lim_{y\to 0} f(0,y) = f(0,0) = 0

פונקציה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל לא דיפרנציאבילית

f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases}

הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)

אך הנגזרות החלקיות קיימות:

\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0} 0 = 0

ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y

פונקציה דיפרנציאבילית אבל הנגזרות החלקיות לא רציפות

f(x)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin(\frac{1}{x^2+y^2}) \ \text{if} \ x^2+y^2\neq 0 \\ 0\ \text{else}\end{cases}

נשים לב ש- f דיפ' ב-0 והדיפרנציאל הוא df_{(0,0)}\equiv 0 אך \frac{\partial f}{\partial x} ,\frac{\partial f}{\partial y} לא חסומות סביב (0,0):

\frac{\partial f}{\partial x} (x,0) = -\frac{2}{x}\cdot \cos(\frac1{x^2}) - לא חסומה, ובאופן דומה הנגזרת החלקית לפי y

פונקציה שהנגזרות החלקיות לא מתחלפות

f(x,y)=\begin{cases}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \ \text{if}\ x^2+y^2\neq 0 \\ 0 \ \text{else} \end{cases}

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial y} (x,0)-\frac{\partial f}{\partial y} (0,0)}{x}

\frac{\partial f}{\partial y} (0,0)=0 , \ \ \frac{\partial f}{\partial y} (x,0)=\lim_{y\to 0} \frac{f(x,y)-f(x,0)}{y}=x

אז

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{x-0}{x}=1

אבל f(x,y)=-f(y,x) אז \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) (0,0) = \lim_{y\to 0} \frac{-y-0}{y}=-1

כלומר

\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) (0,0) \neq \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (0,0)