שינויים

== שאלה 1 ==לכל קבוצה <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> ומספרים <math>a,b \in \mathbb{R}</math> מגדירים <math>aE+b:=\{ a xax+b:x \in E \}</math> (ז"א ש-<math>aE+b</math> היא תמונת <math>E</math> תחת הפונקציה הלינארית <math>x \mapsto ax+b</math>).

הוכיחו: <math>m^*(aE+b)=|a| m^*(E)</math>== שאלה 2 ==א. יהי <math>\{E_n\}_{n=1}^N</math> אוסף סופי של תתי-קבוצות של <math>\mathbb{R}</math>. הוכיחו שמתקיים <math>\overline{\cup_{n=1}^N E_n}=\cup_{n=1}^N \overline{E_n}</math>

ב. ==שאלה 2==הוכיחו שלא בהכרח מתקיים שוויון כאשר מדובר באוסף אינסופיכי כל קבוצה קומפקטית ב- <math>\R</math> הנה מדידה לבג.

== שאלה 3 =='''הגדרההערה:''' נאמר שקבוצה <math>G \subseteq \mathbb{R}</math> היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם ניתן להציג אותה כחיתוך אתם רשאים להשתמש בעובדה (שעוד לא למדתם) שאיחוד בן-מנייה מניה של קבוצות פתוחותמדידות הנו מדיד.

תהי <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> הוכיחו שקיימת קבוצה <math>G \in G_\delta</math> המקיימת <math>E \subseteq G</math> וכן <math>m^*(G)=m^*(E)</math>

א. הוכיחו שלכל קבוצה <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת קבוצה פתוחה <math>O</math>, המקיימת <math>E \subseteq O</math> וכן <math>m^*(O) \leq le m^*(E)+\varepsilon</math>