88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 6

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־21:53, 6 בדצמבר 2012 מאת Michael (שיחה | תרומות) (שאלה 1)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שאלה 0 (לא להגשה)

קראו בויקיפדיה על פונקציית קנטור, ועל הדרך שבעזרתה בונים קבוצת לבג שאיננה קבוצת בורל (ובעצם מוכיחים ש- \mathcal{B}(\mathbb{R}) \subsetneq \mathcal{L}(\mathbb{R})).


שאלה 1

יהי (X,\mathcal{S},\mu) ממ"ח, f:X \to [0,\infty] מדידה ואי-שלילית, ומקיימת \int_X f \, d\mu=c באשר 0<c<\infty. יהי \alpha>0 קבוע.

הוכיחו כי מתקיים \lim_{n \to \infty} \int_X {n \log \left[ 1+\left( \frac{f}{n} \right)^\alpha \right]} \, d\mu=\begin{cases} \infty & 0<\alpha<1 \\ c & \alpha=1\\ 0 & 1<\alpha <\infty \end{cases}

רמז: אם \alpha \ge 1, האינטגרנדים נשלטים ע"י \alpha f,

ואם \alpha<1 ניתן להפעיל את למת פאטו.

שאלה 2

יהי (X,\mathcal{S},\mu) ממ"ח, ותהי f:X \to [0,\infty] מדידה d \mu. עבור E \in \mathcal{S} נגדיר \nu(E)=\int_E f \, d \mu. הוכחנו בהרצאה כי \nu היא מידה.

א. הוכיחו כי לכל g:X \to [0,\infty] מדידה d \mu מתקיים \int_X g \, d\nu=\int_X g f \, d \mu.

(הדרכה: הראו זאת בשלבים כמו בתרגיל הקודם - התחילו מפונקציית אינדיקטור, וסיימו בפונקציה אי-שלילית כללית)

ב. באיזה תנאי פונקציה g:X \to \mathbb{R}^* אינטגרבילית d \nu?


שאלה 3

יהי (\mathbb{N},\mathcal{P}(\mathbb{N}),\mu) ממ"ח בו \mu היא מידת הספירה. פונקציות \mathbb{N} \to \mathbb{R} הן בעצם סדרות של מספרים ממשיים.

א. תהיינה a,b:\mathbb{N} \to \mathbb{R} הפונקציות המוגדרות ע"י a_n=\frac{(-1)^n}{n},b_n=\frac{(-1)^n}{n^2}. מי מהן מדידה? מי מהן אינטגרבילית? חשבו את האינטגרל של האינטגרבילית מביניהן.

ב. תנו אפיון (תנאי הכרחי ומספיק) של הפונקציות המדידות a:\mathbb{N} \to \mathbb{R}.

ג. כנ"ל עבור הפונקציות האינטגרביליות.

ד. מצאו ביטוי לאינטגרל של פונקציה אינטגרבילית a:\mathbb{N} \to \mathbb{R}.

(שימו לב שתאריך ההגשה הוא בשבוע שלאחר חנוכה)

בהצלחה!