88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 1

חזקות ושורשים

1) אם a הוא מספר כלשהוא ו-n מספר טבעי, אזי a בחזקת n מוגדר באופן הבא: $a^{n}=a\cdot a\cdots a$, מספר a נקרא בסיס החזקה, מספר n נקרא מעריך החזקה.

2) ניקח מספר ממשי חיובי x וניקח חזקה $\frac{1}{n}$ כאשר n הוא מספר טבעי.נגדיר את x בחזקת $\frac{1}{n}$ להיות השורש ה-n-י של x: $y=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$

3) באופן כללי נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא: $x^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{x}\right)^{p}$

חוקי חזקות

• לכל x מתקיים $1^{x}=1$
• לכל x מתקיים $x^{0}=1$ ובפרט $0^{0}=1$
• לכל x שונה מאפס מתקיים $0^{x}=0$
• $x^{a}x^{b}=x^{a+b}$
• $x^{-a}=\frac{1}{x^{a}}$
• $\frac{x^{a}}{x^{b}}=a^{a-b}$

הגדרה: פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה $y=a^{x}$ כאשר בסיס a הוא מספר קבוע.

תרגיל: מצא את הפתרונות של המשוואה $2\left(\frac{4^{x}+1}{2^{x}}\right)^{2}-7\left(\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}\right)+5=0$

פתרון: ראשית נשים לב לכך ש:$\frac{4^{x}+1}{2^{x}}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}}$ ולכן נסמן $t=2^{x}+\frac{1}{2^{x}}$ נציב את t במשוואה ונקבל $2t^{2}-7t+5=0$ עם הפתרונות $t=1,\frac{1}{2}$, לכן עלינו לפתור שתי משוואות:

1) $2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=1$ נעשה מכנה משותף ונקבל $\left(2^{x}\right)^{2}-2^{x}+1=0$ נסמן ב-$s=2^{x}$ ונקבל משוואה $s^{2}-s+1=0$ קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון.

2) $2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=\frac{5}{2}$ שוב נעשה מכנה משותף ונקבל $2s^{2}-5s+2=0$ לאחר שנציב $s=2^{x}$, פתרונות למשוואה הזאת הם $s_{1}=2^{x}=2$ u> ו-$s_{2}=2^{x}=2^{-1}$ ולכן ה-x-ים שמקיימים את המשוואה הם $x_{1}=1 x_{2}=-1$

הגדרת הלוגריתם

לוגריתם של מספר x לפי בסיס a הוא b אם b הוא מעריך החזקה שבסיסה a וערכה x, כלומר $a^{x}=x\Leftrightarrow log_{a}x=b$.

תכונות

אם $log_{a}x=b$ אזי:

1) $1\neq a>0$

2) $x>0$

3) b מספר כלשהוא.

4) $a^{log_{a}x}=b$

הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה $y=log_{a}x$ כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא $x>0$.

חוקי לוגריתמים

1) $log_{a}\left(xy\right)=log_{a}x+log_{a}y$

2) $log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)=log_{a}x-log_{a}y$

3) $log_{a}x^{n}=nlog_{a}x$

4) $log_{m}x=\frac{log_{a}x}{log_{a}m}$

5) $formula$ וגם $log_{a}\left(a\right)=1$

הערה: מקרה פרטי החשוב ביותר בו נתענין בקורס הוא $log_{e}x=lnx$ כאשר $e\approx2.51$

תרגיל: פתרו את $e\approx2.51$ פתרון: נשתמש בחוקי הלוגריתמים $ln\left(\left(1+x\right)\left(1-x\right)\right)=0$ ואז נקבל $ln\left(1-x^{2}\right)=0$ ואז לפי ההגדרה של הלוגריתם מקבלים $1-x^{2}=1$ u> ולכן תושבה סופית היא היא x שווה אפס.

ערך מוחלט ואי שוויון

הגדרה: ערך מוחלט של מספר הוא המרחק שלו מנקודה אפס ומסמנים אותו בצורה הבאה: $\mid x\mid=\begin{cases} x & x\geq0\\ -x & x\leq0 \end{cases}$

מרחק בין שתי נקודות מוגדר להיות $\mid x-y\mid$

תכונות של ערך מוחלט

1) לכל x מתקיים $\mid x\mid\geq0$

2) $\mid x\mid=0$ אם ורק אם $x=0$

3) $\mid xy\mid=\mid x\mid y\mid$

4) $\left(\mid x\mid\right)^{2}=x^{2}$

5) $x\leq\mid x\mid$

6) אי שוויון המשולש: $\mid x+y\mid\leq\mid x\mid+\mid y\mid$

7) נניח ש-L מספר אי שלילי אזי $\mid x\mid\leq L\Leftrightarrow-L\leq x\leq L$

תכונות של אי שוויונים

• $x\leq y\Leftrightarrow-x\geq-y$

• נניח ש-x,y אי שליליים אזי $x\leq y\Leftrightarrow x^{2}\leq y^{2}$

• נניח ש-x,y אי שליליים אזי $x\leq y\Leftrightarrow\frac{1}{x}\geq\frac{1}{y}$

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השוויון הבא: $\mid2x-1\mid>\mid x-1\mid$

פתרון: מקרה ראשון: $2x-1\geq0\Rightarrow x\geq\frac{1}{2}$ וגם $x-1\geq0\Rightarrow x\geq1$

במקרה הזה נוריד את ערך מוחלט ונקבל $2x-1>x-1\Rightarrow x>0$, חיתוך בין שלושת התחומים הוא $x\geq1$ וזה פתרון במקרה 1.

מקרה 2: $2x-1\geq0\Rightarrow x\geq\frac{1}{2}$ וגם $x-1<0\Rightarrow x<1$ ולכן לאחר שנוריד את ערך מוחלט נוסיף מינוס לפני $x-1$ ונקבל $2x-1>-(x-1)\Rightarrow x>\frac{2}{3}$ ולכן חיתוך בין שלושת התחומים הוא $\frac{2}{3}<x<1$

מקרה 3: 2x-1<0\Rightarrow x<\frac{1}{2} וגם $x-1<0\Rightarrow x<1$ ולכן לאחר שנוריד את ערך מוחט נוסיף מינוס לפני כל אחד משלושת הביטויים ונקבל: $-(2x-1)>-(x-1)\Rightarrow x<0$

ולכן פתרון לאי שוויום יהיה איחוד של שלושת המקרים: $x\geq1$ או $\frac{2}{3}<x<1$ או $x<0$

אי שוויונים מעריכיים

בפתרון של אי שוויונים מעריכיים יש לשים לב לכללים הבאים:

1) כל הבסיסים המופיעים באי שוויון חייבים להיות חיוביים.

2) * אם $a>1$ אזי אם $x_{1}<x_{2}$ אז $a^{x_{1}}<a^{x_{2}}$ ולכן אי שוויון שבין החזקות זהה לאי שוויון שבין המעריכים.

• אם $0<a<1$ אזי אם $x_{1}<x_{2}$ אז $a^{x_{2}}<a^{x_{1}}$ ולכן אי השוויון שבין החזקות הוא הפוך בכיוונו לאי השוויון שבין המעריכים.

תרגיל: פתור את אי השוויון: $\left(x-3\right)^{5x}<\left(x-3\right)^{x^{2}}$

פתרון: כאן x מופיע גם בחזקה וגם בבסיס ולכן נצטרך לחלק לשני מקרים:

מקרה 1: $x-3\geq1$ ולכן $x\geq4$ במקרה זה אי שוויון בין מעריכים הוא כמו אי שוויון בין החזקות ונקבל: $5x<x^{2}\Rightarrow x^{2}-5x>0\Rightarrow x\left(x-5\right)>0$ פתרון ואי שוויון זה הוא $x>5$ או $x<0$ ולכן חיתוך בין שני התחומים הוא $x>5$

מקרה 2: $0<x-3<1\Rightarrow3<x<4$ ואז אי שוויון שבין המעריכים הפוך בכיוונו לאי שוויון שבין החזקות ולכן מתקיים $5x>x^{2}$ ותרון לאי שוויון זה הוא $0<x<5$ והפתרון המקרה זה יהיה חיתוך בין שני התחומים והוא $3<x<4$

פתרון של אי שוויון יהיה איחוד בין שני המקרים: $x>5$ או $3<x<4$

אי שוויונים לוגריתמיים

בפתרון של אי שוויונים לוגריתמיים יש לשים לב לכללים הבאים:

1) כל הביטויים שבתוך הלוגריתמים חייבים להיות חיוביים.

2) * אם $a>1$ אזי אם $x_{1}<x_{2}$ אזי $log_{a}x_{1}<log_{a}x_{2}$ ואז אי שוויון שבין הלוגריתמים הוא באותו כיוון של אי שוויון שבין הביטויים שבתוך הלוגריתמים.

• אם $0<a<1$ אז אם $x_{1}<x_{2}$ אז $log_{a}x_{2}<log_{a}x_{1}$ ואז אי שוויון שבין הלוגריתמים הפוך בכיוונו לאי שוויון שבין הביטויים שבתוך הלוגריתמים.

• אם x מופיע גם בבסיס הלוגריתם צריך לזכור שהבסיס הוא חיובי ושונה מ-1.

תרגיל: פתור את אי שוויון $log_{x}\left(x+1\right)<2$

פתרון: קודם כל נסדר את הביטוי: $log_{x}\left(x+1\right)<2\cdot1=2log_{x}x=log_{x}x^{2}$ http://math-wiki.com/extensions/Math/images/button_math.png קודם כל נדאג שביטויים בתוך הלוגריתם יהיו חיוביים $x+1>0\Rightarrow x>-1$ וגם $x^{2}\neq0\Rightarrow x>0\vee x<0$ אבל יש לנו x בבסיס ואנחנו דורשים שהוא יהיה חיובי ולכן חיתוך בין שלושת התחומים נותן $x>0$.

נחלק למקרים, מקרה 1: $x>1$ אזי $x+2<x^{2}$ פתרון לאי שוויון ריבועי זה הוא $x>2$ או $x<-1$ אבל ראינו ש-$x>0$ ולכן החיתוך בין התחומים כאן הוא $x>2$.

מקרה 2: אם $0<x<1$ נקבל $x+2>x^{2}$ פתרון של אי שוויון ריבועי זה הוא $-1<x<2$, סה"כ פתרון נוא חיתוך של התחומים והוא שווה $0<x<1$.

פתרון של אי שוויון הוא איחוד של שני המקרים והוא שווה ל-$0<x<1$ או $x>2$