הבדלים בין גרסאות בדף "88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 2"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏סדרות)
(←‏הגדרה)
שורה 20: שורה 20:
 
<math>x\in B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) </math> אם ורק אם <math>x\in\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right)  </math>.
 
<math>x\in B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) </math> אם ורק אם <math>x\in\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right)  </math>.
  
−
===הגדרה===
+
===הגדרה (גבול של סדרה)===
 +
תהי <math>\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}  </math> סדרה נתונה. נאמר שמספר L הוא גבול של סדרה <math>\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}  </math> אם לכל <math>\varepsilon>0 </math> קטן ככל שיהיה קיים מספר טבעי <math>n_{0} </math> כך שלכל <math>n\geq n_{0} </math> מתקיים <math>\mid a_{n}-L\mid<\varepsilon </math>.
 +
 
 +
במילים: לכל <math>\varepsilon>0  </math> יש לכל היותר מספר סופי של איברי הסדרה שאינם נמצאים בתוך הסביבה <math>B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right)  </math>. (במילים אחרות החל ממקום <math>n_{0} </math> כל איברי הסדרה יהיו בתוך הסביבה <math>B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right)  </math> של L).
 +
 
 +
אם L הוא גבול של סדרה <math>\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}  </math> אז נרשום <math>lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L </math> או <math>a_{n}\rightarrow L </math>.
 +
 
 +
אם לסדרה יש גבול נאמר שהסדרה מתכנסת (או שואפת לגבול זה), אם אין לסדרה גבול נאמר שהיא מתבדרת.

גרסה מ־14:48, 27 באוקטובר 2015

סדרות

הגדרה

סדרה של מספרים ממשיים היא פונקציה f:\mathbb{N\rightarrow\mathbb{R}} שלכל n\in\mathbb{N} מתאימה מספר ממשי a_{n}=f\left(n\right) שנקרא האיבר ה-n-י של הסדרה.

סדרה היא רשימה אינסופית מסודרת של מספרים ממשיים: a_{1},a_{2},... שנסמנה a_{1},a_{2},... , והמספר ה-n נקרא האינדקס של האיבר a_{n}.

a_{n} נקרא האיבר הכללי של הסדרה ואם הוא נתון על ידי נוסחה אלגברית אזי הביטוי a_{n} נקרא הנוסחה האלגברית של הסדרה.

דוגמאות

1) הסדרה 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}.... נקראת הסדרה ההרמונית. נוסחת האיבר הכללי שלה היא שלה a_{n}=\frac{1}{n} .

2) אם s\in\mathbb{R} הסדרה s,s^{2},s^{3},.... נקראת הסדרה ההנדסית עם בסיס s ואיברה הכללי הוא a_{n}=s^{n} .

3) הסדרה s,s,s,s... נקראת הסדרה הקבועה ונסמנה הסדרה הקבועה שערכה s ונסמנה a_{n}=s .

הגדרה (סביבת ה-אפסילון של הנקודה)

יהי x_{0}\in\mathbb{R} ויהי \varepsilon>0 , סביבת ה-אפסילון של x_{0} שמסומנת ב- B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) ומוגדרת ע"י B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)=\left\{ x\in\mathbb{R}:\mid x-x_{0}\mid<\varepsilon\right\} . כדאי לחשוב על B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) כקבוצת הנקודות שמרחקם מ-x_{0} קטן מ-\varepsilon . x\in B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) אם ורק אם x\in\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right) .

הגדרה (גבול של סדרה)

תהי \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} סדרה נתונה. נאמר שמספר L הוא גבול של סדרה \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} אם לכל \varepsilon>0 קטן ככל שיהיה קיים מספר טבעי n_{0} כך שלכל n\geq n_{0} מתקיים \mid a_{n}-L\mid<\varepsilon .

במילים: לכל \varepsilon>0 יש לכל היותר מספר סופי של איברי הסדרה שאינם נמצאים בתוך הסביבה B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right) . (במילים אחרות החל ממקום n_{0} כל איברי הסדרה יהיו בתוך הסביבה B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right) של L).

אם L הוא גבול של סדרה \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} אז נרשום lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L או a_{n}\rightarrow L .

אם לסדרה יש גבול נאמר שהסדרה מתכנסת (או שואפת לגבול זה), אם אין לסדרה גבול נאמר שהיא מתבדרת.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-611_אנליזה_1_למורים_סמסטר_א_תשעו/מערכי_תרגול/שיעור_2&oldid=63139