הבדלים בין גרסאות בדף "88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 2"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏הגדרה)
(←‏סדרות)
שורה 28: שורה 28:
  
 
אם לסדרה יש גבול נאמר שהסדרה מתכנסת (או שואפת לגבול זה), אם אין לסדרה גבול נאמר שהיא מתבדרת.
 
אם לסדרה יש גבול נאמר שהסדרה מתכנסת (או שואפת לגבול זה), אם אין לסדרה גבול נאמר שהיא מתבדרת.
 +
 +
===דוגמאות===

גרסה מ־14:49, 27 באוקטובר 2015

סדרות

הגדרה

סדרה של מספרים ממשיים היא פונקציה f:\mathbb{N\rightarrow\mathbb{R}} שלכל n\in\mathbb{N} מתאימה מספר ממשי a_{n}=f\left(n\right) שנקרא האיבר ה-n-י של הסדרה.

סדרה היא רשימה אינסופית מסודרת של מספרים ממשיים: a_{1},a_{2},... שנסמנה a_{1},a_{2},... , והמספר ה-n נקרא האינדקס של האיבר a_{n}.

a_{n} נקרא האיבר הכללי של הסדרה ואם הוא נתון על ידי נוסחה אלגברית אזי הביטוי a_{n} נקרא הנוסחה האלגברית של הסדרה.

דוגמאות

1) הסדרה 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}.... נקראת הסדרה ההרמונית. נוסחת האיבר הכללי שלה היא שלה a_{n}=\frac{1}{n} .

2) אם s\in\mathbb{R} הסדרה s,s^{2},s^{3},.... נקראת הסדרה ההנדסית עם בסיס s ואיברה הכללי הוא a_{n}=s^{n} .

3) הסדרה s,s,s,s... נקראת הסדרה הקבועה ונסמנה הסדרה הקבועה שערכה s ונסמנה a_{n}=s .

הגדרה (סביבת ה-אפסילון של הנקודה)

יהי x_{0}\in\mathbb{R} ויהי \varepsilon>0 , סביבת ה-אפסילון של x_{0} שמסומנת ב- B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) ומוגדרת ע"י B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)=\left\{ x\in\mathbb{R}:\mid x-x_{0}\mid<\varepsilon\right\} . כדאי לחשוב על B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) כקבוצת הנקודות שמרחקם מ-x_{0} קטן מ-\varepsilon . x\in B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) אם ורק אם x\in\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right) .

הגדרה (גבול של סדרה)

תהי \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} סדרה נתונה. נאמר שמספר L הוא גבול של סדרה \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} אם לכל \varepsilon>0 קטן ככל שיהיה קיים מספר טבעי n_{0} כך שלכל n\geq n_{0} מתקיים \mid a_{n}-L\mid<\varepsilon .

במילים: לכל \varepsilon>0 יש לכל היותר מספר סופי של איברי הסדרה שאינם נמצאים בתוך הסביבה B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right) . (במילים אחרות החל ממקום n_{0} כל איברי הסדרה יהיו בתוך הסביבה B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right) של L).

אם L הוא גבול של סדרה \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} אז נרשום lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L או a_{n}\rightarrow L .

אם לסדרה יש גבול נאמר שהסדרה מתכנסת (או שואפת לגבול זה), אם אין לסדרה גבול נאמר שהיא מתבדרת.

דוגמאות

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-611_אנליזה_1_למורים_סמסטר_א_תשעו/מערכי_תרגול/שיעור_2&oldid=63140