הבדלים בין גרסאות בדף "88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 2"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏פתרון:)
(←‏סדרות)
שורה 52: שורה 52:
  
 
<math>\mid\frac{n-1}{n}-1\mid<\varepsilon </math> אם ורק אם <math>n>\frac{1}{\varepsilon}</math> ולכן כמו מקודם מבחר <math>n_{0}>\frac{1}{\varepsilon} </math> כך שלכל <math>n\geq n_{0}  </math> מתקיים <math>\mid\frac{n-1}{n}-1\mid=\mid-\frac{1}{n}\mid=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_{0}}<\varepsilon  </math>.
 
<math>\mid\frac{n-1}{n}-1\mid<\varepsilon </math> אם ורק אם <math>n>\frac{1}{\varepsilon}</math> ולכן כמו מקודם מבחר <math>n_{0}>\frac{1}{\varepsilon} </math> כך שלכל <math>n\geq n_{0}  </math> מתקיים <math>\mid\frac{n-1}{n}-1\mid=\mid-\frac{1}{n}\mid=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_{0}}<\varepsilon  </math>.
 +
 +
===תנאי הכרחי ומספי לאי קיום הגבול===
 +
 +
המספר L איננו הגבול של הסדרה של <math>\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}  </math>

גרסה מ־17:58, 27 באוקטובר 2015

סדרות

הגדרה

סדרה של מספרים ממשיים היא פונקציה f:\mathbb{N\rightarrow\mathbb{R}} שלכל n\in\mathbb{N} מתאימה מספר ממשי a_{n}=f\left(n\right) שנקרא האיבר ה-n-י של הסדרה.

סדרה היא רשימה אינסופית מסודרת של מספרים ממשיים: a_{1},a_{2},... שנסמנה a_{1},a_{2},... , והמספר ה-n נקרא האינדקס של האיבר a_{n}.

a_{n} נקרא האיבר הכללי של הסדרה ואם הוא נתון על ידי נוסחה אלגברית אזי הביטוי a_{n} נקרא הנוסחה האלגברית של הסדרה.

דוגמאות

1) הסדרה 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}.... נקראת הסדרה ההרמונית. נוסחת האיבר הכללי שלה היא שלה a_{n}=\frac{1}{n} .

2) אם s\in\mathbb{R} הסדרה s,s^{2},s^{3},.... נקראת הסדרה ההנדסית עם בסיס s ואיברה הכללי הוא a_{n}=s^{n} .

3) הסדרה s,s,s,s... נקראת הסדרה הקבועה ונסמנה הסדרה הקבועה שערכה s ונסמנה a_{n}=s .

הגדרה (סביבת ה-אפסילון של הנקודה)

יהי x_{0}\in\mathbb{R} ויהי \varepsilon>0 , סביבת ה-אפסילון של x_{0} שמסומנת ב- B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) ומוגדרת ע"י B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)=\left\{ x\in\mathbb{R}:\mid x-x_{0}\mid<\varepsilon\right\} . כדאי לחשוב על B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) כקבוצת הנקודות שמרחקם מ-x_{0} קטן מ-\varepsilon . x\in B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) אם ורק אם x\in\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right) .

הגדרה (גבול של סדרה)

תהי \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} סדרה נתונה. נאמר שמספר L הוא גבול של סדרה \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} אם לכל \varepsilon>0 קטן ככל שיהיה קיים מספר טבעי n_{0} כך שלכל n\geq n_{0} מתקיים \mid a_{n}-L\mid<\varepsilon .

במילים: לכל \varepsilon>0 יש לכל היותר מספר סופי של איברי הסדרה שאינם נמצאים בתוך הסביבה B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right) . (במילים אחרות החל ממקום n_{0} כל איברי הסדרה יהיו בתוך הסביבה B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right) של L).

אם L הוא גבול של סדרה \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} אז נרשום lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L או a_{n}\rightarrow L .

אם לסדרה יש גבול נאמר שהסדרה מתכנסת (או שואפת לגבול זה), אם אין לסדרה גבול נאמר שהיא מתבדרת.

דוגמאות

1) הסדרה a_{n}=\frac{1}{n} מתכנסת לגבול L=0, או בקיצור lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0 .

הוכחה: נוכיח ש-0 הוא באמת הגבול של הסדרה לפי ההגדרה של הגבול

יהי \varepsilon>0 , רוצים להוכיח שקיים מקום בסדרה שנסמנו ב-n_{0} כל שהחל מהמקום הזה כלומר עבור כל n\geq n_{0} מתקיים \mid\frac{1}{n}-0\mid<\varepsilon .

מתקיים \mid\frac{1}{n}-0\mid=\frac{1}{n}<\varepsilon\Leftrightarrow n>\frac{1}{\varepsilon} ולכן אם נבחר n_{0}>\frac{1}{\varepsilon} נקבל \mid\frac{1}{n}-0\mid=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_{0}}<\varepsilon .

2) אם a_{n}=s הסדרה הקבועה ולכן הגבול שלה הוא lim_{n\rightarrow\infty}\left(s\right)=s .

3) לכל \alpha\geq0 lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}=0 .

תרגיל:

מצא את גבול הסדרה lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n-1}{n} והוכח לפי ההגדרה שזה באמת הגבול.

פתרון:

\frac{n-1}{n}=1+\frac{1}{n}  ולכן נסיק שהגבול הוא 1.

יהיה \varepsilon>0 , רוצים להוכיח שקיים n_{0} כך שלכל n\geq n_{0} מתקיים \mid\frac{n-1}{n}-1\mid<\varepsilon .

\mid\frac{n-1}{n}-1\mid<\varepsilon אם ורק אם n>\frac{1}{\varepsilon} ולכן כמו מקודם מבחר n_{0}>\frac{1}{\varepsilon} כך שלכל n\geq n_{0} מתקיים \mid\frac{n-1}{n}-1\mid=\mid-\frac{1}{n}\mid=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_{0}}<\varepsilon .

תנאי הכרחי ומספי לאי קיום הגבול

המספר L איננו הגבול של הסדרה של \left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-611_אנליזה_1_למורים_סמסטר_א_תשעו/מערכי_תרגול/שיעור_2&oldid=63153