הבדלים בין גרסאות בדף "88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 2"

גרסה מ־19:17, 27 באוקטובר 2015

סדרות

הגדרה

סדרה של מספרים ממשיים היא פונקציה $f:\mathbb{N\rightarrow\mathbb{R}}$ שלכל $n\in\mathbb{N}$ מתאימה מספר ממשי $a_{n}=f\left(n\right)$ שנקרא האיבר ה-n-י של הסדרה.

סדרה היא רשימה אינסופית מסודרת של מספרים ממשיים: $a_{1},a_{2},...$ שנסמנה $a_{1},a_{2},...$ , והמספר ה-n נקרא האינדקס של האיבר $a_{n}$ .

$a_{n}$ נקרא האיבר הכללי של הסדרה ואם הוא נתון על ידי נוסחה אלגברית אזי הביטוי $a_{n}$ נקרא הנוסחה האלגברית של הסדרה.

דוגמאות

1) הסדרה $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}....$ נקראת הסדרה ההרמונית. נוסחת האיבר הכללי שלה היא שלה $a_{n}=\frac{1}{n}$ .

2) אם $s\in\mathbb{R}$ הסדרה $s,s^{2},s^{3},....$ נקראת הסדרה ההנדסית עם בסיס s ואיברה הכללי הוא $a_{n}=s^{n}$ .

3) הסדרה s,s,s,s... נקראת הסדרה הקבועה ונסמנה הסדרה הקבועה שערכה s ונסמנה $a_{n}=s$ .

הגדרה (סביבת ה-אפסילון של הנקודה)

יהי $x_{0}\in\mathbb{R}$ ויהי $\varepsilon>0$ , סביבת ה-אפסילון של $x_{0}$ שמסומנת ב- $B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)$ ומוגדרת ע"י $B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)=\left\{ x\in\mathbb{R}:\mid x-x_{0}\mid<\varepsilon\right\}$ . כדאי לחשוב על $B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)$ כקבוצת הנקודות שמרחקם מ- $x_{0}$ קטן מ- $\varepsilon$ . $x\in B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)$ אם ורק אם $x\in\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right)$ .

הגדרה (גבול של סדרה)

תהי $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ סדרה נתונה. נאמר שמספר L הוא גבול של סדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ אם לכל $\varepsilon>0$ קטן ככל שיהיה קיים מספר טבעי $n_{0}$ כך שלכל $n\geq n_{0}$ מתקיים $\mid a_{n}-L\mid<\varepsilon$ .

במילים: לכל $\varepsilon>0$ יש לכל היותר מספר סופי של איברי הסדרה שאינם נמצאים בתוך הסביבה $B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right)$ . (במילים אחרות החל ממקום $n_{0}$ כל איברי הסדרה יהיו בתוך הסביבה $B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right)$ של L).

אם L הוא גבול של סדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ אז נרשום $lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L$ או $a_{n}\rightarrow L$ .

אם לסדרה יש גבול נאמר שהסדרה מתכנסת (או שואפת לגבול זה), אם אין לסדרה גבול נאמר שהיא מתבדרת.

דוגמאות

1) הסדרה $a_{n}=\frac{1}{n}$ מתכנסת לגבול L=0, או בקיצור $lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$ .

הוכחה: נוכיח ש-0 הוא באמת הגבול של הסדרה לפי ההגדרה של הגבול

יהי $\varepsilon>0$ , רוצים להוכיח שקיים מקום בסדרה שנסמנו ב- $n_{0}$ כל שהחל מהמקום הזה כלומר עבור כל $n\geq n_{0}$ מתקיים $\mid\frac{1}{n}-0\mid<\varepsilon$ .

מתקיים $\mid\frac{1}{n}-0\mid=\frac{1}{n}<\varepsilon\Leftrightarrow n>\frac{1}{\varepsilon}$ ולכן אם נבחר $n_{0}>\frac{1}{\varepsilon}$ נקבל $\mid\frac{1}{n}-0\mid=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_{0}}<\varepsilon$ .

2) אם $a_{n}=s$ הסדרה הקבועה ולכן הגבול שלה הוא $lim_{n\rightarrow\infty}\left(s\right)=s$ .

3) לכל $\alpha\geq0$ $lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}=0$ .

תרגיל:

מצא את גבול הסדרה $lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n-1}{n}$ והוכח לפי ההגדרה שזה באמת הגבול.

פתרון:

 $\frac{n-1}{n}=1+\frac{1}{n}$  ולכן נסיק שהגבול הוא 1.

יהיה $\varepsilon>0$ , רוצים להוכיח שקיים $n_{0}$ כך שלכל $n\geq n_{0}$ מתקיים $\mid\frac{n-1}{n}-1\mid<\varepsilon$ .

$\mid\frac{n-1}{n}-1\mid<\varepsilon$ אם ורק אם $n>\frac{1}{\varepsilon}$ ולכן כמו מקודם מבחר $n_{0}>\frac{1}{\varepsilon}$ כך שלכל $n\geq n_{0}$ מתקיים $\mid\frac{n-1}{n}-1\mid=\mid-\frac{1}{n}\mid=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_{0}}<\varepsilon$ .

תנאי הכרחי ומספי לאי קיום הגבול

המספר L איננו הגבול של הסדרה של $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ אם קיים $\varepsilon_{0}>0$ כך שלכל $n_{0}$ קיים $n\geq n_{0}$ כך שמתקיים $\mid L-a_{n}\mid\geq\varepsilon_{0}$ .

במילים:הסדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ אינה מתכנסת לגבול L אם ורק אם קיים $\varepsilon_{0}>0$ מסויים כך שאינסוף מאיברי הסדרה נמצאים מחוץ לסביבה $B_{\varepsilon}\left(L\right)$ .

תרגיל:

הוכח כי 2 אינו הגבול של $a_{n}=\frac{3n+1}{n}$ .

פתרון:

עלינו למצוא $\varepsilon_{0}>0$ מסויים כל שלכל $n_{0}$ טבעי קיים $n\geq n_{0}$ כך שיתקיים $\mid2-\frac{3n-1}{n}\mid\geq\varepsilon_{0}$ .

$\mid2-\frac{3n-1}{n}\mid=\mid\frac{-n-1}{n}\mid=\frac{n+1}{n}>1$ קיבלנו שמרחק בין 2 לבין כל אחד מאיברי הסדרה הוא יותר גדול מ-1 ולכן אם נבחר $\varepsilon_{0}=\frac{1}{2}$ לא נוכל למצוא אף $n_{0}$ שעבורו כמעט כל איברי הסדרה יהיו בסביבה $\left(2-\frac{1}{2},2+\frac{1}{2}\right)$ .

הגדרה

סדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ היא סדרה מתבדרת אם כל מספר ממשי a אינו הגבול של $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ .

דוגמאות לסדרות מתבדרות

1) $a_{n}=n$

2) $b_{n}=\left(-1\right)^{n}$

הערות

1) שתי סדרות הן שוות אם ורק אם $a_{n}=b_{n}$ לכל n טבעי, למשל סדרה 101010... שונה מהסדרה 010101...

2) אם סדרה מתכנסת לגבול אזי הוא יחיד, כלומר אם N הוא גבול של סדרה וגם L הוא גבול של אותה סדרה אזי N=L.

הגדרות

1) נאמר כי סדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ מתכנסת לאיסוף או שואפת לאיסוף אם לכל מספר ממשי M כמעט כל איברי הסדרה גדולים מ-M, ז"א לכל M קיים $n_{0}$ טבעי כך שלכל $n\geq n_{0}$ $a_{n}>M$ ונרשום $lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty$ .

2) נאמר שסדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ מתכנסת למינוס אינסוף אם לכל L קיים $n_{0}$ טבעי כל שלכל $n\geq n_{0}$ $a_{n}<L$ ונרשום $lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=-\infty$

לדוגמה

$a_{n}=n\Leftrightarrow lim_{n\rightarrow\infty}n=\infty$

טכניקות בסיסיות לחישוב כבולות

תרגיל:

חשב כבול של $c_{n}=\frac{n^{2}+n-1}{n^{2}+1}$

פתרון:

גם המונה וגם המכנה שואפים לאינסוף לכן לא נוכל מידית להסיק מה הוא הגבול ולכן נשתמש בטריק הבא: נבחר את החזקה הכי גבוהה של n בביטוי במקרה שלה היא $n^{2}$ ונוציא אותה מחות לסוגריים גם במונה וגם במכנה ונקבל:

$\frac{n^{2}\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)}=\frac{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}}{1+\frac{1}{n}}\rightarrow1$ .

טענה (כלל המנה)

אם $a_{n}\rightarrow\pm\infty$ אז $\frac{1}{a_{n}}\rightarrow0$

ואם $a_{n}\rightarrow0$ אז $\frac{1}{\mid a_{n}\mid}\rightarrow\infty$

תרגיל

מצא את הגבול של $a_{n}=\frac{n^{2}}{2n+1}$

פתרון

נשתמש באותו טריק כמו בתרגיל הקודם $\frac{n^{2}}{2n+1}=\frac{n^{2}\cdot1}{n^{2}(\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}})}=\frac{1}{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}$

נתבונן בסדרה $\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}$ ברור שהגבול שלה הוא אפס ולכן לפי הלמה הקודמת $\frac{1}{\mid\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\mid}\rightarrow\infty$ אבל כל אחד מאיברי הסדרה הוא חיובי ולכן ניתן להוריד את ערך המוחלט ונקבל $\frac{1}{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}\rightarrow\infty$ .

טענה:

אם $lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L$ ואם לכל n $a_{n}\geq0$ אזי $lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{a_{n}}=\sqrt{L}$ .

תרגיל

חשבו את $lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1}}$

פתרון

נתבונן בסדרה $a_{n}=\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1}$ ברור שכל איברי הסדרה הם אי שליליים ולכן נוכל להשתמש בטענה הקודמת:

$lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2}\left(3-\frac{2}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)}=\frac{3}{2}$ ולכן הגבול של הסדרה שלנו הוא פשוט: $lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$

הערה

אם $lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L$ וכל איברי הסדרה הם אי שליליים אזי $lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[k]{a_{n}}=\sqrt[k]{L}$ .

@@ שורה 120: / שורה 120: @@
 נתבונן בסדרה <math>\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}</math> ברור שהגבול שלה הוא אפס ולכן לפי הלמה הקודמת <math>\frac{1}{\mid\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\mid}\rightarrow\infty </math> אבל כל אחד מאיברי הסדרה הוא חיובי ולכן ניתן להוריד את ערך המוחלט ונקבל <math>\frac{1}{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}\rightarrow\infty </math>.
+===טענה:===
+אם <math>lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L </math> ואם לכל n <math>a_{n}\geq0  </math> אזי <math>lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{a_{n}}=\sqrt{L} </math>.
+===תרגיל===
+חשבו את <math>lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1}} </math>
+===פתרון===
+נתבונן בסדרה <math>a_{n}=\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1} </math> ברור שכל איברי הסדרה הם אי שליליים ולכן נוכל להשתמש בטענה הקודמת:
+<math>lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2}\left(3-\frac{2}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)}=\frac{3}{2} </math>
+ולכן הגבול של הסדרה שלנו הוא פשוט: <math>lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1}}=\sqrt{\frac{3}{2}} </math>
+===הערה===
+אם <math>lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L </math> וכל איברי הסדרה הם אי שליליים אזי <math>lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[k]{a_{n}}=\sqrt[k]{L} </math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 2"

גרסה מ־19:17, 27 באוקטובר 2015

תוכן עניינים

סדרות

הגדרה

דוגמאות

הגדרה (סביבת ה-אפסילון של הנקודה)

הגדרה (גבול של סדרה)

דוגמאות

תרגיל:

פתרון:

תנאי הכרחי ומספי לאי קיום הגבול

תרגיל:

פתרון:

הגדרה

דוגמאות לסדרות מתבדרות

הערות

הגדרות

לדוגמה

טכניקות בסיסיות לחישוב כבולות

תרגיל:

פתרון:

טענה (כלל המנה)

תרגיל

פתרון

טענה:

תרגיל

פתרון

הערה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים