88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 2

סדרות

הגדרה

סדרה של מספרים ממשיים היא פונקציה $f:\mathbb{N\rightarrow\mathbb{R}}$ שלכל $n\in\mathbb{N}$ מתאימה מספר ממשי $a_{n}=f\left(n\right)$ שנקרא האיבר ה-n-י של הסדרה.

סדרה היא רשימה אינסופית מסודרת של מספרים ממשיים: $a_{1},a_{2},...$ שנסמנה $a_{1},a_{2},...$, והמספר ה-n נקרא האינדקס של האיבר $a_{n}$.

$a_{n}$ נקרא האיבר הכללי של הסדרה ואם הוא נתון על ידי נוסחה אלגברית אזי הביטוי $a_{n}$ נקרא הנוסחה האלגברית של הסדרה.

דוגמאות

1) הסדרה $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}....$ נקראת הסדרה ההרמונית. נוסחת האיבר הכללי שלה היא שלה $a_{n}=\frac{1}{n}$.

2) אם $s\in\mathbb{R}$ הסדרה $s,s^{2},s^{3},....$ נקראת הסדרה ההנדסית עם בסיס s ואיברה הכללי הוא $a_{n}=s^{n}$.

3) הסדרה s,s,s,s... נקראת הסדרה הקבועה ונסמנה הסדרה הקבועה שערכה s ונסמנה $a_{n}=s$.

הגדרה (סביבת ה-אפסילון של הנקודה)

יהי $x_{0}\in\mathbb{R}$ ויהי $\varepsilon>0$, סביבת ה-אפסילון של $x_{0}$ שמסומנת ב- $B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)$ ומוגדרת ע"י $B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)=\left\{ x\in\mathbb{R}:\mid x-x_{0}\mid<\varepsilon\right\}$. כדאי לחשוב על $B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)$ כקבוצת הנקודות שמרחקם מ-$x_{0}$ קטן מ-$\varepsilon$. $x\in B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)$ אם ורק אם $x\in\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right)$.