88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 2

סדרות

הגדרה

סדרה של מספרים ממשיים היא פונקציה $f:\mathbb{N\rightarrow\mathbb{R}}$ שלכל $n\in\mathbb{N}$ מתאימה מספר ממשי $a_{n}=f\left(n\right)$ שנקרא האיבר ה-n-י של הסדרה.

סדרה היא רשימה אינסופית מסודרת של מספרים ממשיים: $a_{1},a_{2},...$ שנסמנה $a_{1},a_{2},...$, והמספר ה-n נקרא האינדקס של האיבר $a_{n}$.

$a_{n}$ נקרא האיבר הכללי של הסדרה ואם הוא נתון על ידי נוסחה אלגברית אזי הביטוי $a_{n}$ נקרא הנוסחה האלגברית של הסדרה.

דוגמאות

1) הסדרה $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}....$ נקראת הסדרה ההרמונית. נוסחת האיבר הכללי שלה היא שלה $a_{n}=\frac{1}{n}$.

2) אם $s\in\mathbb{R}$ הסדרה $s,s^{2},s^{3},....$ נקראת הסדרה ההנדסית עם בסיס s ואיברה הכללי הוא $a_{n}=s^{n}$.

3) הסדרה s,s,s,s... נקראת הסדרה הקבועה ונסמנה הסדרה הקבועה שערכה s ונסמנה $a_{n}=s$.

הגדרה (סביבת ה-אפסילון של הנקודה)

יהי $x_{0}\in\mathbb{R}$ ויהי $\varepsilon>0$, סביבת ה-אפסילון של $x_{0}$ שמסומנת ב- $B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)$ ומוגדרת ע"י $B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)=\left\{ x\in\mathbb{R}:\mid x-x_{0}\mid<\varepsilon\right\}$. כדאי לחשוב על $B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)$ כקבוצת הנקודות שמרחקם מ-$x_{0}$ קטן מ-$\varepsilon$. $x\in B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)$ אם ורק אם $x\in\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right)$.

הגדרה (גבול של סדרה)

תהי $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ סדרה נתונה. נאמר שמספר L הוא גבול של סדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ אם לכל $\varepsilon>0$ קטן ככל שיהיה קיים מספר טבעי $n_{0}$ כך שלכל $n\geq n_{0}$ מתקיים $\mid a_{n}-L\mid<\varepsilon$.

במילים: לכל $\varepsilon>0$ יש לכל היותר מספר סופי של איברי הסדרה שאינם נמצאים בתוך הסביבה $B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right)$. (במילים אחרות החל ממקום $n_{0}$ כל איברי הסדרה יהיו בתוך הסביבה $B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right)$ של L).

אם L הוא גבול של סדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ אז נרשום $lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L$ או $a_{n}\rightarrow L$.

אם לסדרה יש גבול נאמר שהסדרה מתכנסת (או שואפת לגבול זה), אם אין לסדרה גבול נאמר שהיא מתבדרת.

דוגמאות

1) הסדרה $a_{n}=\frac{1}{n}$ מתכנסת לגבול L=0, או בקיצור $lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$.

הוכחה: נוכיח ש-0 הוא באמת הגבול של הסדרה לפי ההגדרה של הגבול

יהי $\varepsilon>0$, רוצים להוכיח שקיים מקום בסדרה שנסמנו ב-$n_{0}$ כל שהחל מהמקום הזה כלומר עבור כל $n\geq n_{0}$ מתקיים $\mid\frac{1}{n}-0\mid<\varepsilon$.

מתקיים $\mid\frac{1}{n}-0\mid=\frac{1}{n}<\varepsilon\Leftrightarrow n>\frac{1}{\varepsilon}$ ולכן אם נבחר $n_{0}>\frac{1}{\varepsilon}$ נקבל $\mid\frac{1}{n}-0\mid=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_{0}}<\varepsilon$.

2) אם $a_{n}=s$ הסדרה הקבועה ולכן הגבול שלה הוא $lim_{n\rightarrow\infty}\left(s\right)=s$.

3) לכל $\alpha\geq0$ $lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}=0$.

תרגיל:

מצא את גבול הסדרה $lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n-1}{n}$ והוכח לפי ההגדרה שזה באמת הגבול.

פתרון:

$\frac{n-1}{n}=1+\frac{1}{n}$ ולכן נסיק שהגבול הוא 1. 

יהיה $\varepsilon>0$, רוצים להוכיח שקיים $n_{0}$ כך שלכל $n\geq n_{0}$ מתקיים $\mid\frac{n-1}{n}-1\mid<\varepsilon$.

$\mid\frac{n-1}{n}-1\mid<\varepsilon$ אם ורק אם $n>\frac{1}{\varepsilon}$ ולכן כמו מקודם מבחר $n_{0}>\frac{1}{\varepsilon}$ כך שלכל $n\geq n_{0}$ מתקיים $\mid\frac{n-1}{n}-1\mid=\mid-\frac{1}{n}\mid=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_{0}}<\varepsilon$.

תנאי הכרחי ומספי לאי קיום הגבול

המספר L איננו הגבול של הסדרה של $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ אם קיים $\varepsilon_{0}>0$ כך שלכל $n_{0}$ קיים $n\geq n_{0}$ כך שמתקיים $\mid L-a_{n}\mid\geq\varepsilon_{0}$.

במילים:הסדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ אינה מתכנסת לגבול L אם ורק אם קיים $\varepsilon_{0}>0$ מסויים כך שאינסוף מאיברי הסדרה נמצאים מחוץ לסביבה $B_{\varepsilon}\left(L\right)$.

תרגיל:

הוכח כי 2 אינו הגבול של $a_{n}=\frac{3n+1}{n}$.

פתרון:

עלינו למצוא $\varepsilon_{0}>0$ מסויים כל שלכל $n_{0}$ טבעי קיים $n\geq n_{0}$ כך שיתקיים $\mid2-\frac{3n-1}{n}\mid\geq\varepsilon_{0}$.

$\mid2-\frac{3n-1}{n}\mid=\mid\frac{-n-1}{n}\mid=\frac{n+1}{n}>1$ קיבלנו שמרחק בין 2 לבין כל אחד מאיברי הסדרה הוא יותר גדול מ-1 ולכן אם נבחר $\varepsilon_{0}=\frac{1}{2}$ לא נוכל למצוא אף $n_{0}$ שעבורו כמעט כל איברי הסדרה יהיו בסביבה $\left(2-\frac{1}{2},2+\frac{1}{2}\right)$.

הגדרה

סדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ היא סדרה מתבדרת אם כל מספר ממשי a אינו הגבול של $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$.

דוגמאות לסדרות מתבדרות

1) $a_{n}=n$

2) $b_{n}=\left(-1\right)^{n}$

הערות

1) שתי סדרות הן שוות אם ורק אם $a_{n}=b_{n}$ לכל n טבעי, למשל סדרה 101010... שונה מהסדרה 010101...

2) אם סדרה מתכנסת לגבול אזי הוא יחיד, כלומר אם N הוא גבול של סדרה וגם L הוא גבול של אותה סדרה אזי N=L.