89-214 מבנים אלגבריים
הקורס מבנים אלגבריים הוא קורס מבוא לאלגברה מודרנית עבור תלמידי מדעי המחשב. הקורס מהווה גרסה מקוצרת של הקורסים בתורת החבורות, תורת החוגים, ותורת השדות של תלמידי מתמטיקה, ומכסה בערך שני-שלישים מן הקורס הראשון, חמישית מהשני, וטעימה קלה מהשלישי.
הקורס מציג שלושה מבנים אלגבריים חשובים: חבורות (לרבות חבורות של תמורות והמבנה של חבורות אבליות), חוגים (כולל מבוא לתורת המספרים האלמנטרית) ושדות סופיים. מטרתו היא לערוך היכרות עם טכניקות, בניות, שיטות ובעיות בתחום.
נושאי הקורס
- מבוא לתורת המספרים: יחס החלוקה, ראשוניים, מספרים זרים, מחלק משותף מקסימלי, אלגוריתם אוקלידס, המשפט היסודי של האריתמטיקה.
- חבורות: חבורה למחצה, מונויד, חבורות, חבורות ציקליות, תת-חבורות, סדר של איבר ושל חבורה, משפט לגרנז'; חבורת אוילר; תת-חבורות נורמליות וחבורות מנה, הומומורפיזם ואיזומורפיזם, משפטי נתר; חבורות של תמורות ומשפט קיילי; חבורות קלאסיות של מטריצות וחבורות דיהדרליות.
- חוגים: חוגים (עם יחידה), אידיאלים ימניים ושמאליים, אידיאלים; חוגי מנה ומשפטי האיזומורפיזם. אידיאל ראשוני ומקסימלי (בחוג קומוטטיבי). תחומי שלמות: איבר ראשוני ואי-פריק, חוגים אוקלידיים, חוגים ראשיים. איבר אי-פריק בתחום ראשי יוצר אידיאל מקסימלי.
- סיפוח שורש של פולינום לשדה. קיום של שדה מפצל לכל פולינום. בניה של שדות סופיים.