איבר של חבורה למחצה המקיים את התנאי <math>\ ex=xe=x</math> לכל x הוא "איבר יחידה". לא תמיד יש כזה, אבל אם הוא קיים - הוא יחיד. חבורה למחצה שבה יש איבר יחידה, נקראת '''מונויד''' (או "יחידון").
== הרצאה שלישית ==
איבר y של מונויד M הוא "הפכי של x" אם xy=yx=1. אם יש ל-x הפכי, אז הוא יחיד --- ולאיבר הזה קוראים "ההפכי של x". איבר שיש לו הפכי הוא "איבר הפיך". לדוגמא, איבר היחידה הוא הפיך --- אבל יש מונוידים שבהם אין אף איבר
הפיך אחר. מונויד שכל האיברים שלו הפיכים נקרא '''חבורה'''. מתברר שבכל מונויד M, אוסף האיברים ההפיכים <math>\ U(M)</math> הוא חבורה.
המונויד מקיים את '''תכונת הצמצום משמאל''' אם מ-xy=xz תמיד נובע y=z. לדוגמא, המונויד של המספרים עד n עם פעולת המקסימום אינו מקיים את התכונה הזו. מונויד המוכל בחבורה מקיים את תכונת הצמצום (אבל יש דוגמאות - קשות יחסית - למונוידים המקיימים את תכונת הצמצום ואינם מוכלים באף חבורה).
'''משפט'''. מונויד סופי בעל תכונת הצמצום משמאל הוא חבורה.
'''דוגמאות לחבורות'''.
# <math>\ \mathbb{Z}_n</math> ביחס לפעולת החיבור.
# אוסף האברים ההפיכים ב-<math>\ \mathbb{Z}_n</math> ביחס לפעולת הכפל. לחבורה הזו קוראים '''חבורת אוילר מסדר n''', ויש בה <math>\ \varphi(n)</math> אברים.
# החבורה הסימטרית <math>\ S_n</math> היא חבורת התמורות על n עצמים. אפשר לכתוב כל תמורה כמכפלה של מחזורים זרים, באופן יחיד.
# החבורה הדיהדרלית <math>\ D_n</math> כוללת, על-פי ההגדרה, את הפעולות המותרות על מצולע משוכלל בן n צלעות. אפשר להציג אותה כחבורת האברים <math>\ \{\sigma^i \tau^j\}</math> עם היחסים <math>\ \sigma^n = \tau^2 = 1</math>, <math>\ \tau \sigma \tau^{-1} = \sigma^{-1}</math>; וגם כחבורה של מטריצות סיבוב ושיקוף מסדר 2. שימו לב ש-<math>\ D_3</math> היא בעצם החבורה <math>\ S_3</math>, משום שכל תמורה של הקודקודים שומרת על המשולש במקומו (מה שאינו נכון כשמספר הקודקודים גדול יותר).
# לכל שדה F, המטריצות ההפיכות מסדר n מעל F מהוות חבורה, <math>\ \operatorname{GL}_n(F)</math>.
לסיום, הגדרנו '''מכפלה ישרה חיצונית''', שהיא המכפלה הקרטזית של שתי חבורות נתונות עם הפעולה לפי רכיבים, כדרך לבנות חבורה חדשה מחבורות נתונות.
'''תרגיל'''. הוכיחו ש- <math>\ U_{8} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2</math> וש- <math>\ U_{10} \cong \mathbb{Z}_4</math>.
הגדרנו מכפלה ישרה חיצונית, באמצעות פעולה בכל רכיב
בנפרד.
תת-קבוצה לא-ריקה $H$ של חבורה $G$ היא "תת-חבורה", אם $H$ מהווה חבורה בזכות
עצמה ביחס
לפעולות המצומצמות מ-$G$. זה שקול לכך שהיא סגורה לכפל וללקיחת
הפכי \ס{בחבורה סופית, די בכך
שהקבוצה סגורה לכפל}. תת-החבורות
הטריוויאליות הן $G$ עצמה, והקבוצה הכוללת רק את איבר היחידה.
תת-חבורה $H$ מאפשרת להגדיר יחס שקילות על החבורה, לפי הכלל "$a$ שקול ל-$b$ אם
ורק אם $b^{-1}a$
שייך ל-$H$". מתברר שמחלקות השקילות של היחס הזה הן בדיוק
הקוסטים הימניים; הקוסט הימני של $g$
הוא אוסף כל האברים מהצורה gx עבור $x$
ב-$H$.
לכל הקוסטים אותו גודל \ס{השווה לגודל של $H$}, והם
מפרקים את החבורה למחלקות
זרות.