שינויים

אברים x,g מתחלפים אם ורק אם הצמדת g על-ידי x אינה משנה את האיבר. ברוח זו, הגדרנו את יחס הצמידות על החבורה: שני אברים הם צמודים אם אפשר להגיע מאחד לשני על-ידי הצמדה, כלומר, הצמודים של x הם האברים מהצורה <math>\ g x g^{-1}</math>. הוכחנו שמספר האברים במחלקת הצמידות של a שווה לאינדקס <math>\ [G:C_G(a)]</math>של המרכז של האיבר בחבורה (ומכאן שמספר האברים הזה מחלק את סדר החבורה). == הרצאה שמינית == הפירוק של חבורה לאיחוד של מחלקות צמידות קובע את '''שוויון המחלקות''' <math>\ |G|=|Z(G)|+\sum [G:C_G(x)]</math>, שבו הסכום באגף ימין הוא על נציג אחד מכל מחלקה של אברים לא מרכזיים (המחלקה של איבר מרכזי כוללת אותו בלבד).  משוויון המחלקות מסיקים של"חבורת-p" (חבורה מסדר <math>\ p^n</math>) יש מרכז לא טריוויאלי. הראינו שאם G חבורה לא אבלית, אז המנה <math>\ G/Z(G)</math> אינה יכולה להיות ציקלית. בעזרת שתי התוצאות האחרונות אפשר למיין את כל החבורות מסדר <math>\ p^2</math> (כולן אבליות, ובהמשך נראה שיש רק שתיים כאלה - <math>\ \mathbb{Z}_{p^2}</math> ו- <math>\ \mathbb{Z}_p^2</math>), ואת כל החבורות הלא-אבליות מסדר <math>\ p^3</math> (יש שתיים).  הראינו שבחבורה הסימטרית <math>\ S_n</math>, שתי תמורות הן צמודות זו לזו אם ורק אם יש להן אותו מבנה מחזורים. זה מאפשר לנתח קומבינטורית את מחלקות הצמידות של החבורה הזו, לחשב מרכזים, וכדומה.  הוכחנו את משפט קיילי, הקובע שכל חבורה סופית איזומורפית לתת-חבורה של חבורת תמורות. '''תרגיל'''. הציגו את <math>\ S_3</math> בתור תת-חבורה של <math>\ S_6</math>. \section{תקציר השעור התשיעי}