'''תרגיל'''. הוכיחו ש- <math>\ U_{8} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2</math> וש- <math>\ U_{10} \cong \mathbb{Z}_4</math>.
== הרצאה רביעית ==
תת-קבוצה לא-ריקה H של חבורה G היא '''תת-חבורה''' אם H מהווה חבורה בזכות עצמה ביחס לפעולות המצומצמות מ-G. זה שקול לכך שהיא סגורה לכפל וללקיחת הפכי (בחבורה סופית, די בכך שהקבוצה סגורה לכפל). תת-החבורות הטריוויאליות הן G עצמה, והקבוצה הכוללת רק את איבר היחידה.
אם H תת-חבורה של G, קבוצה מהצורה <math>\ Ha = \{xa: x\in H\}</math> נקראת '''קוסט ימני''' של H. הקוסטים הימניים זרים זה לזה, והם מכסים את החבורה. מכיוון שלכולם אותו גודל (השווה לסדר של H), מתקבל '''משפט לגרנז'''': הסדר של חבורה (סופית) מתחלק בסדר של כל תת-חבורה.
חיתוך של אוסף כלשהו של תת-חבורות הוא תת-חבורה, וכך אפשר להגדיר את '''החבורה הנוצרת''' על-ידי קבוצה S, כתת-החבורה הקטנה ביותר המכילה את S. אבריה של תת-החבורה הזו הם המכפלות של אברי S וההפכיים שלהם.
ה'''סדר של איבר''' <math>\ g \in G</math> הוא n>0 הקטן ביותר שעבורו <math>\ g^n=1_G</math> (אם יש כזה; אחרת הסדר הוא אינסוף). כל איבר g יוצר תת-חבורה <math>\ \langle g \rangle</math>, הכוללת בדיוק את החזקות של g; סדר החבורה הזו שווה לסדר האיבר. חבורות כאלה, הנוצרות על-ידי איבר אחד, נקראות '''חבורות ציקליות'''.
לדוגמא, החבורה <math>\ \mathbb{Z}_n</math> ציקלית, משום שהיא נוצרת על-ידי המחלקה <math>\ [1]</math>. חישבנו שהסדר של a בחבורה הזו הוא <math>\ n/(a,n)</math>, ולכן יש בדיוק <math>\ \phi(n/e)</math> אברים מכל סדר n/e. בפרט, יש לחבורה <math>\ \mathbb{Z}_n</math> בדיוק <math>\ \phi(n)</math> יוצרים.