הגדרנו '''הומומורפיזם''' (העתקה מחבורה G לחבורה H, השומרת על הכפל (ולכן גם על איבר היחידה ועל פעולת ההיפוך)). התמונה של הומומורפיזם היא תת-חבורה של H, והגרעין הוא תת-חבורה של G. הומומורפיזם הוא חד-חד-ערכי אם ורק אם הגרעין שלו טריוויאלי. ראינו שכל תת-חבורה יכולה להיות תמונה של הומומורפיזם כלשהו. מאידך, לא כל תת-חבורה יכולה להיות גרעין של הומומורפיזם: לתת-חבורות כאלה נקרא בשעור הבא "תת-חבורות נורמליות", ובינתיים אנו מגדירים אותן על-פי התכונה <math>\ aH=Ha</math> לכל a, ותכונות השקולות לה.
== הרצאה ששית ==
תת-חבורה H של G המקיימת את התנאי <math>\ aHa^{-1} \subset H</math> לכל <math>\ a\in G</math>, (או כל אחד מהתנאים השקולים לכך) נקראת '''תת-חבורה נורמלית'''.
אם <math>\ N\leq G</math> תת-חבורה נורמלית, מסמנים <math>\ N \triangleleft G</math>. הוכחנו שתת-חבורה היא נורמלית אם ורק אם הפעולה הטבעית של כפל קוסטים - מוגדרת היטב. את האוסף הזה אפשר להפוך לחבורה, הקרויה '''חבורת המנה''', <math>\ G/N</math>. כמובן, <math>\ |G/N| = [G:N]</math>. קיומה של חבורת המנה מאפשר להוכיח קריטריון נוסף: תת-חבורה היא נורמלית אם ורק אם היא גרעין להומומורפיזם כלשהו (ההעתקה <math>\ \theta : G \rightarrow G/N</math> לפי <math>\ \theta(x) = xN</math> היא הומומורפיזם, ו- <math>\ \operatorname{Ker}(\theta) = N</math>). כלומר: תת-חבורות נורמליות של G = גרעינים של הומומורפיזמים מ-G.
הוכחנו את '''משפט האיזומורפיזם הראשון''': לכל הומומורפיזם <math>\ \phi : G \rightarrow H</math>,
<math>\ G/\operatorname{Ker}(\phi) \cong \operatorname{Im}(\phi)</math>. מעכשיו, אם נרצה להוכיח ש- <math>\ G/K \cong H</math>, מספיק יהיה לבנות אפימורפיזם (=הומומורפיזם על( <math>\ G \rightarrow H</math> שהגרעין שלו הוא K.
ראינו שנורמליות מחלחלת כלפי מטה: אם <math>\ K \triangleleft G</math> ו- <math>\ H \leq G</math>, אז <math>\ K \cap H \triangleleft H</math>. בפרט (אם מניחים <math>\ K \sub H</math>) נורמליות עוברת בתורשה לתת-חבורה. מאידך, נורמליות אינה טרנזיטיבית: יתכן ש- <math>N \triangleleft H \triangleleft G</math> ובכל זאת <math>\ N \not \triangleleft G</math>.
אם <math>\ N \triangleleft G</math> ו- <math>\ H \leq G</math> אז <math>\ NH</math> תמיד תת-חבורה; יתרה מזו, המכפלה של תת-חבורות נורמליות היא נורמלית.
הגדרנו מתי חבורה G היא '''מכפלה ישרה פנימית''' של שתי תת-חבורות שלה (הן צריכות להיות נורמליות, בעלות חיתוך טריוויאלי, וכך שמכפלתן היא כל החבורה). הוכחנו שכל מכפלה ישרה חיצונית היא גם מכפלה ישרה פנימית, ושמכפלה ישרה פנימית איזומורפית למכפלה ישרה חיצונית של תת-החבורות.