הוכחנו את משפט קיילי, הקובע שכל חבורה סופית איזומורפית לתת-חבורה של חבורת תמורות. '''תרגיל'''. הציגו את <math>\ S_3</math> בתור תת-חבורה של <math>\ S_6</math>.
== הרצאה תשיעית ==
הגדרנו את הסימן של תמורה <math>\ \sigma</math> בתור הזוגיות של מספר 'הפרות הסדר', שהן זוגות <math>\ i<j</math> עם <math>\ \sigma(i)>\sigma(j)</math>. הפונקציה הזו היא הומומורפיזם <math>\ S_n \rightarrow \{\pm 1\}</math>. כל תמורה אפשר להציג כמכפלה של חילופים (לאו דווקא זרים, כמובן). מכיוון שלכל חילוף יש סימן אי-זוגי, הסימן קובע את הזוגיות של מספר החילופים בכל הצגה כזו.
הגרעין של העתקת הסימן, היינו אוסף כל התמורות הזוגיות, הוא תת-חבורה נורמלית מאינדקס 2 של <math>\,S_n</math>, שאותה מסמנים ב-<math>\,A_n</math>. כפי ש-<math>\,S_n</math> נוצרת על-ידי כל החילופים, <math>\,A_n</math> נוצרת על-ידי כל המחזורים מאורך 3. אם <math>\ n\geq 5</math> אז החבורה <math>\ A_n</math> פשוטה, כלומר, אין לה תת-חבורות נורמליות לא טריוויאליות.
חבורת האוטומורפיזמים של חבורה G כוללת, לפי ההגדרה, את כל האוטומורפיזמים של החבורה (אלו הם הומומורפיזמים חד-חד-ערכיים ועל, מן החבורה אל עצמה). הצמדה באיבר של G מגדירה אוטומורפיזם, והפונקציה המתאימה לכל איבר את ההצמדה בו-עצמו היא הומומורפיזם, שהגרעין שלו הוא מרכז החבורה. התמונה נקראת "חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים", והיא תת-חבורה נורמלית של חבורת האוטומורפיזמים.
לאחר שהוברר שהצמדה מסוגלת להגדיר אוטומורפיזמים על החבורה, אפשר להשתמש בשיטה הזו גם כדי להגדיר אוטומורפיזמים של תת-חבורות. אם H תת-חבורה נתונה, נסמן ב- <math>\ N_G(H) = \{g\in G: gHg^{-1} =H\}</math> את ה'''מנרמל''' של H. זוהי תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבתוכה H נורמלית. שיטת ההצמדה מגדירה הומומורפיזם של המנרמל לתוך חבורת האוטומורפיזמים של H, שהגרעין שלו הוא המרכז <math>\ C_G(H)</math>. כך מתקבל "משפט N/C": המנה <math>\ N_G(H)/C_G(H)</math> איזומורפית לתת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של H.