שינויים

כעת, נביט בקבוצה <math>H=<a,b>=\{a^i b^j | 0 \le i,j \le p-1\}</math>. נראה כי <math>H</math> היא קבוצה מעוצמה <math>p^2</math>: נניח כי קיימים <math>(i,j)\neq(i',j')</math> עבורם <math>{a^i}{b^j}={a^{i'}}{b^{j'}}</math>. על ידי בידוד איברים, נקבל <math>a^{i-i'}=b^{j'-j}</math>, והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים <math>e</math>, ובסתירה להנחה <math>(i,j)\neq(i',j')</math>. אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת <math>H</math> היא <math>p^2</math>.

ראשית, נזכיר כי <math>ab=ba</math>, כי <math>a\in Z(G)</math>. לכן <math>b\cdot a^i=b\cdot a\cdot a^{i-1}=a\cdot b\cdot a^{i-1}</math>. נחזור על הטיעון <math>i</math> פעמים, ונקבל <math>b\cdot a^i=a^i\cdot b</math>. כמו כן, ברור כי <math>b\cdot b^j=b^j\cdot b</math>. ביחד, נקבל <math>b\cdot a^ib^j=a^i\cdot b \cdot b^j = a^ib^j\cdot b</math>, כנדרש. מצאנו אפוא כי <math>b\in Z(G)</math>, ובסתירה לדרך שבה בחרנו את <math>b</math>.