'''[[89-214 מבנים אלגבריים]]'''=הודעות כלליות=
=קישורים=ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים!
* '''[[שיחהלקבוצה של שירה:89-214_סמסטר_א'_תשעה|שאלות ותשובות]]יתכן והתרגול של 07/01 יתבטל. נא להתעדכן!'''
* '''[[89-214 מבנים אלגבריים סמסטר א תשעה/תרגילים|תרגילים]]''= השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו') =
* '''[[89-214 מבנים אלגבריים סמסטר א תשעה/מערכי תירגול|מערכי תירגול]]תרגיל'''. תהי <math>G</math> חבורה מסדר <math>p^2</math> (<math>p</math> ראשוני). הראו כי <math>|Z(G)|\neq p</math>.
'''פתרון'''. נניח בשלילה כי <math>|Z(G)|=הודעות כלליותp</math>. מכיוון שזו חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית, כלומר קיים <math>a \in Z(G)</math> שיקיים <math><a>=Z(G)</math>. בנוסף, משיקולי עוצמה, קיים איבר <math>b \in G-Z(G)</math>. ננסה להראות כי <math>b</math> הזה מתחלף עם כל איברי <math>G</math>, ולכן <math>b\in Z(G)</math>, ובסתירה לבחירת <math>b</math>.
ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים!ראשית, נשים לב לכך שהסדר של <math>b</math> הוא <math>p</math>; אילו הסדר היה <math>p^2</math> אז <math>b</math> היה יוצר של כל <math>G</math>, ואילו הסדר היה <math>1</math> אז הוא היה איבר היחידה. הסדר של <math>a</math> גם הוא <math>p</math>, באופן ברור.
כעת, נביט בקבוצה <math>H=<a,b>=\{a^i b^j | 0 \le i,j \le p-1\}</math>. נראה כי <math>H</math> היא קבוצה מעוצמה <math>p^2</math>: נניח כי קיימים <math>(i,j)\neq(i',j')</math> עבורם <math>{a^i}{b^j}={a^{i'לקבוצה של שירה: יתכן והתרגול של 07}}{b^{j'}}</01 יתבטלmath>. נא להתעדכן!על ידי בידוד איברים, נקבל <math>a^{i-i'}=b^{j'-j}</math>, והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים <math>e</math>, ובסתירה להנחה <math>(i,j)\neq(i',j')</math>. אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת <math>H</math> היא <math>p^2</math>. ברור ש-<math>H\subseteq G</math>, ולפי שויון עוצמות סופיות, <math>H=G</math>. לכן כל איבר ב-<math>G</math> ניתן לרשום בתור <math>a^ib^j</math>. נבדוק האם <math>b \cdot a^ib^j=a^ib^j \cdot b</math>. ראשית, נזכיר כי <math>ab=ba</math>, כי <math>a\in Z(G)</math>. לכן <math>b\cdot a^i=b\cdot a\cdot a^{i-1}=a\cdot b\cdot a^{i-1}</math>. נחזור על הטיעון <math>i</math> פעמים, ונקבל <math>b\cdot a^i=a^i\cdot b</math>. כמו כן, ברור כי <math>b\cdot b^j=b^j\cdot b</math>. ביחד, נקבל <math>b\cdot a^ib^j=a^i\cdot b \cdot b^j = a^ib^j\cdot b</math>, כנדרש. מצאנו אפוא כי <math>b\in Z(G)</math>, ובסתירה לדרך שבה בחרנו את <math>b</math>. '''תרגיל'''. תהי <math>G</math> חבורה מסדר <math>p^2</math> (<math>p</math> ראשוני). הראו כי היא חבורה אבלית. '''פתרון'''. לפי התרגיל הקודם, <math>|Z(G)|\neq p</math>. לפי נוסחת המחלקות, <math>|Z(G)|\neq 1</math> (הראנו בכיתה). לפי לגרנז', <math>|Z(G)| \mid p^2</math>, וביחד נקבל <math>|Z(G)|= p^2</math>. אם כן, משויון עוצמת קבוצות סופיות, <math>Z(G)=G</math>, ו-<math>G</math> אבלית.