אנליזה מתקדמת למורים תרגול 2

חזרה ל מערכי תרגול.

הצגה פולרית של מספרים מרוכבים

נתבונן במספר מרוכב $z=a+bi$, נסמן ב$\theta$ את הזוית עם הציר הממשי נגד השעון וב$r$ את הנורמה, אז נקבל: $\cos \theta = \frac{a}{r},\sin \theta = \frac{b}{r}, \tan \theta = \frac{b}{a}$. ולכן נקבל $z=r\cdot \cos \theta +r\cdot \sin \theta i$, שמסומן בקצרה: $r\text{cis} \theta$.

מעבר בין הצגות

מקרטזית לפולרית: בהינתן $z=a+bi$, ניקח $r=\sqrt{a^2+b^2},\theta \text{ such that} \tan \theta =\frac{b}{a}$ עד כדי הוספת $\pi$ לפי מיקום המספר על הצירים.

לדוגמא: עבור המספר $-0.5+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ נקבל $r=\sqrt{0.25+\frac{3}{4}}=1,\theta=60+180=240=\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}$.

מפולרית לקרטזית: אם $z=r\text{cis} \theta$ אז $a=r\cos \theta,b=r\sin \theta$.

תרגיל

הציגו את המספרים הבאים בצורה פולרית:

1. $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}$

2. $-1-i$

פתרון

1. $|z|=\sqrt{0.75+0.25}=1,\tan \theta=-\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \theta =...$

2.

תרגיל

הציגו את המספרים הבאים בצורה קרטזית:

1. $\text{cis}0$.

2. $5\text{cis}\frac{\pi}{8}$.

תרגיל - הצמוד בראי ההצגה הפולרית

נניח ש- $z=r\text{cis}\theta$. מצאו את $-z,\overline{z}$ כתלות ב-$r,\theta$.

פתרון

נתחיל עם הצמוד. מה אנחנו רוצים שיתקיים? נעבור רגע להצגה הקרטזית $z=r\cos \theta+r\sin \theta i$, ולכן $\overline{z}=r\cos \theta-r\sin \theta i$. הערך המוחלט לא משתנה, אנחנו רק צריכם למצוא זוית $\varphi$ שתקיים לנו: $\cos \varphi=\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta$. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות: $\sin(-\alpha)=-\sin \alpha,\cos(-\alpha)=\cos \alpha$, ולכן הבחירה $\varphi=-\theta$ היא הבחירה המוצלחת!

בדומה לזה נעשה עם $-z=-r\cos \theta-r\sin \theta i$. כאן אנחנו צריכים למצוא זוית $\varphi$ שתקיים לנו: $\cos \varphi=-\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta$. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות: $\sin(180+\alpha)=-\sin \alpha,\cos(180+\alpha)=-\cos \alpha$ (הן נובעות מהזהויות של זוית משלימה ל180 והזהויות הקודמות), ולכן הבחירה $\varphi=180+\theta$ היא הבחירה המוצלחת!

בסה"כ: $\overline{z}=r\text{cis}-\theta,-z=r\text{cis}180+\theta$.

נוסחת דה-מואבר

בהינתן שני מספרים בהצגה פולרית, $z_1=r_1\text{cis}\theta_1,z_2=r_2\text{cis}\theta_2$ הכפל ביניהם הוא: $z_1\cdot z_2=(r_1\cdot r_2)\text{cis}(\theta_1+\theta_2)$. כלומר, הרדיוסים מוכפלים והזויות נסכמות. חיבור נעשה רק בצורה הקרטזית.

תרגיל

חשבו:

1. $5\text{cis}60\cdot 7\text{cis}45$.

2. $2\text{cis}30+4\text{cis}135$.

פתרון

1. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות: $35\text{cis}105$.

2. עוברים לקרטזית ושם מחברים: $(2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{1}{2}i)+(4\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) +4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}i)=\sqrt{3}-2\sqrt{2}+(1+2\sqrt{2})i$.

מסקנה - חישוב שורשים

מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: $(r\text{cis} \theta )^n=r^n\text{cis} (n\theta)$.

לדוגמא: $(\sqrt{2}\text{cis}60)^3=2\sqrt{2}\text{cis}180=-2\sqrt{2}$.

כך נוכל למצוא שורשים של מספרים מרוכבים. באופן כללי: אם $(r\text{cis}\theta)^n=p\text{cis}\phi$ אז $r=\sqrt[n]{p}, n\cdot \theta=\phi + 2\pi k \Rightarrow \theta=\frac{\phi +2\pi k}{n}=\frac{\phi}{n}+\frac{2\pi k}{n}$.

תרגיל

חשב את $\sqrt[3]{8\text{cis}\frac{\pi}{4}}$

פתרון

נקבל $r=2,\theta=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}=\frac{\pi}{12}\lor \frac{9\pi}{12}\lor \frac{17\pi}{12}$. נשים לב שאם ניקח $k=3$ נקבל $\theta=\frac{25\pi}{12}=\frac{\pi}{12}+2\pi$, ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור $k=0$.

מעגל היחידה ושורשי היחידה

מעגל היחידה הוא אוסף המספרים עם הרדיוס 1, כלומר, $\{z=\text{cis}\theta|0\leq \theta < 360\}$. שורשי היחידה הם המספרים על מעגל היחידה שיש חזקה טבעית המביאה אותם ל-1. שורשי היחידה מסדר נתון $n$ הם המספרים: $\{z:z^n=1\}$. ניתן גם לרשום אותם באופן הבאה: $\{z=\text{cis}\frac{k\cdot 360}{n}| k\in \{0,1,\dots,n-1\}\}$.

תרגיל

נתון מספר מרוכב $z$ הנמצא מחוץ למעגל היחידה. כתבו האם המספרים הבאים נמצאים בתוך מעגל היחידה, על מעגל היחידה או מחוץ למעגל היחידה.

א. $\overline{z}$

ב. $-\frac{1}{z}$

ג. $\frac{z}{\overline{z}}$

ד. $z\cdot \overline{z}$

פתרון

נשים לב שבשאלה זו מעניין אותנו רק מה ההנורמה של המספר, כי הזוית לא משנה בהקשר של בתוך/על/מחוץ מעגל היחידה. נרשום $z=r\text{cis}\theta$, נקבל $r>1$ ונבדוק את הנורמה של המספרים המבוקשים.

א. הנורמה של הצמוד זהה לשל המקורי, ולכן כמו $z$ גם הוא נמצא מחוץ למעגל היחידה.

ב. הנורמה של ההופכי היא ההופכי של הנורמה. ולכן, $r>1\Rightarrow \frac{1}{r}<1$. ולכן ההופכי נמצא בתוך מעגל היחידה.

ג. כיון שהנורמות שוות נקבל שהנורמה של המנה היא 1, ולכן זה נמצא על מעגל היחידה.

ד. $z\cdot\overline{z}=|z|^2=r^2>1$, ולכן מחוץ למעגל היחידה.

תרגיל

מצאו שני שורשי יחידה שונים מסדר 4 שמכפלתם 1. כנ"ל מסדר 11.

פתרון

מסדר 4 יש רק זוג אחד כזה: $i,-i$. מסדר 11, ניתן למצוא כמה. נשים לב שבעצם צריך למצוא שני טבעיים בין 0 ל-10 שסכומם 11. למשל ניקח את 4,7 ונקבל: $\text{cis}\frac{4\cdot 360}{11}\cdot \text{cis}\frac{7\cdot 360}{11}=\text{cis}\frac{(4+7)\cdot 360}{11}=\text{cis}360=1$.

תרגיל

יהי $n$ אי-זוגי. הוכיחו שמכפלת שורשי היחידה מסדר זה היא 1. כלומר, $\prod_{k=0}^{n-1}z_{k}=1$.

פתרון

נחשב: $\prod_{k=0}^{n-1}z_{k}=\prod_{k=0}^{n-1}\text{cis}\frac{2\pi k}{n}=\text{cis}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{2\pi k}{n}\right)=\text{cis}\left(\frac{2\pi}{n}\cdot\sum_{k=0}^{n-1}k\right)$

כעת קיבלנו סדרה חשבונית שהאיבר הראשון שבה הוא אפס, ולכן ניתן להתעלם ממנו. כלומר, $\sum_{k=0}^{n-1}k=\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{1+n-1}{2}\cdot(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$. לכן נקבל: $\text{cis}\left(\frac{2\pi}{n}\cdot\frac{n(n-1)}{2}\right)=\text{cis}\left((n-1)\pi\right)$. וכיון שנתון $n$ אי-זוגי, נקבל מכפלה זוגית של $\pi$, שזה נותן את 1.

שאלה: מה נקבל עבור $n$ זוגי?

שורשים של פולינם

ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממשיים ממעלה 1 או 2. עכשיו נמצא פירוק כזה לפולינום פשוט.

תרגיל

פרקו את הפולינום: $x^5+2$ לגורמים ממשיים ממעלה 1 או 2.

פתרון

ראשית נרשום את הפולינום כמשוואה במרוכבים: $z^5=-2$, ולצורך נוחות נעביר את המספר מימין להצגה פולרית: $-2=2cis\pi$. עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים: $z=\sqrt[5]{2}cis\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi k}{5},k=0,\dots 4$...

כעת, ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה $(x-x_0)$. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים להם המתקבל ממכפלת הגורמים הליניאריים המרוכבים: $(x-z_0)(x-\overline{z_0})=x^2-(z_0+\overline{z_0})x+z_0\overline{z_0}=x^2-2Re(z_0)x+|z_0|^2$. וכאן כל המקדמים ממשיים.

הזויות של השורשים הן: $\{\frac{\pi}{5},\frac{3\pi}{5},\frac{5\pi}{5}=\pi,\frac{7\pi}{5},\frac{9\pi}{5}\}$. הזוית היחידה שנותנת שורש ממשי היא $\pi$, וממנה נקבל את הגורם $(x+\sqrt[5]{2})$.

הזוגות של הזוית הצמודות הן: $\{\frac{\pi}{5},\frac{9\pi}{5}\},\{\frac{3\pi}{5},\frac{7\pi}{5}\}$.

מהצמד הראשון נקבל את הגורם: $(x-\sqrt[5]{2}\text{cis}\frac{\pi}{5})(x-\sqrt[5]{2}\text{cis}\frac{9\pi}{5})=x^2-2Re(\sqrt[5]{2}\text{cis}\frac{\pi}{5})x+\sqrt[5]{4}=x^2-2\cdot \sqrt[5]{2}\cos \frac{\pi}{5}+\sqrt[5]{4}$.

מהצמד השני נקבל את הגורם: $(x-\sqrt[5]{2}\text{cis}\frac{3\pi}{5})(x-\sqrt[5]{2}\text{cis}\frac{7\pi}{5})=x^2-2Re(\sqrt[5]{2}\text{cis}\frac{3\pi}{5})x+\sqrt[5]{4}=x^2-2\cdot \sqrt[5]{2}\cos \frac{3\pi}{5}+\sqrt[5]{4}$.

כעת הפירוק הוא: $x^5+2=(x+\sqrt[5]{2})(x^2-2\cdot \sqrt[5]{2}\cos \frac{\pi}{5}+\sqrt[5]{4})(x^2-2\cdot \sqrt[5]{2}\cos \frac{3\pi}{5}+\sqrt[5]{4})$.