דוגמא לחקר התכנסות טור עם פרמטר

תרגיל

קבע עבור אילו ערכי x הטור הבא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:

$\sum\frac{1}{n}(\frac{2x}{x+4})^n$

פתרון

דבר ראשון, נוכיח את הטענות הבאות:

$\sum\frac{q^n}{n}$ מתכנס בהחלט אם $|q|<1$ .

הוכחה: $\sum|\frac{q^n}{n}|\leq \sum|q^n| < \infty$

$\sum\frac{q^n}{n}$ מתבדר אם $|q|>1$

הוכחה: נסמן $|q|=1+\alpha$ , כאשר $\alpha>0$ . לכן לפי אי שיוויון ברנולי $|q|^n = (1+\alpha)^n \geq 1+n\alpha$

לכן $\frac{|q|^n}{n}\geq \frac{1+n\alpha}{n} \geq \alpha$ ולכן $\lim \frac{|q|^n}{n} \neq 0$ ולכן $\lim\frac{q^n}{n}\neq 0$ ולכן הטור וודאי מתבדר.

כעת, נסמן $q=\frac{2x}{x+4}$ נותר לבדוק מתי |q| גדול מאחד, קטן מאחד או שווה ממש לאחד.

נפתור את אי השיוויון $|\frac{2x}{x+4}| <1$ . קל לראות ש $\frac{2x}{x+4}\geq 0$ כאשר $x>0$ או $x<-4$ . במקרים אלה ניתן להוריד את הערך המוחלט ולפתור את אי השיוויון.

אם $x>0$ אזי $x+4 >0$ , ורוצים לפתור את אי השיוויון $\frac{2x}{x+4} > 1$ מותר לכפול ב(x+4) ולכן נקבל x>4. לכן סה"כ הטור מתבדר עבור x>4. עבור x<4 יוצא ש $\frac{2x}{x+4} < 1$ ולכן הטור מתכנס בהחלט עבור $0<x<4$

אם $x<-4$ אזי $x+4 <0$ ולכן נכפול ב(x+4) ונחליף את כיוון אי השיוויון לקבל x<4. ביחד עם x<-4 נקבל שהטור מתבדר עבור x<-4. המקרה x>4 לא רלוונטי לנו במקרה זה.

אם $-4<x<0$ אזי צריך לפתור את אי השיוויון $-\frac{2x}{x+4} > 1$ , שוב x+4 >0 ולכן מותר לכפול בו על מנת לקבל $3x+4<0$ ולכן $x<-\frac{4}{3}$ , ולכן עבור $-4<x<\frac{4}{3}$ הטור מתבדר. עבור $\frac{4}{3}<x<0$ הטור מתכנס בהחלט.