הבדלים בין גרסאות בדף "דוגמא לחקר התכנסות טור עם פרמטר"

גרסה מ־22:12, 21 בנובמבר 2010

תרגיל

קבע עבור אילו ערכי x הטור הבא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:

$\sum\frac{1}{n}(\frac{2x}{x+4})^n$

פתרון

דבר ראשון, נוכיח את הטענות הבאות:

$\sum\frac{q^n}{n}$ מתכנס בהחלט אם $|q|<1$ .

הוכחה: $\sum|\frac{q^n}{n}|\leq \sum|q^n| < \infty$

$\sum\frac{q^n}{n}$ מתבדר אם $|q|>1$

הוכחה: נסמן $|q|=1+\alpha$ , כאשר $\alpha>0$ . לכן לפי אי שיוויון ברנולי $|q|^n = (1+\alpha)^n \geq 1+n\alpha$

לכן $\frac{|q|^n}{n}\geq \frac{1+n\alpha}{n} \geq \alpha$ ולכן $\lim \frac{|q|^n}{n} \neq 0$ ולכן $\lim\frac{q^n}{n}\neq 0$ ולכן הטור וודאי מתבדר.

כעת, נסמן $q=\frac{2x}{x+4}$ נותר לבדוק מתי |q| גדול מאחד, קטן מאחד או שווה ממש לאחד.

נפתור את אי השיוויון $|\frac{2x}{x+4}| <1$ . קל לראות ש $\frac{2x}{x+4}\geq 0$ כאשר $x>0$ או $x<-4$ . במקרים אלה ניתן להוריד את הערך המוחלט ולפתור את אי השיוויון.

אם $x>0$ אזי $x+4 >0$ , ורוצים לפתור את אי השיוויון $\frac{2x}{x+4} > 1$ מותר לכפול ב(x+4) ולכן נקבל x>4. לכן סה"כ הטור מתבדר עבור x>4. עבור x<4 יוצא ש $\frac{2x}{x+4} < 1$ ולכן הטור מתכנס בהחלט עבור $0<x<4$

אם $x<-4$ אזי $x+4 <0$ ולכן נכפול ב(x+4) ונחליף את כיוון אי השיוויון לקבל x<4. ביחד עם x<-4 נקבל שהטור מתבדר עבור x<-4. המקרה x>4 לא רלוונטי לנו במקרה זה.

אם $-4<x<0$ אזי צריך לפתור את אי השיוויון $-\frac{2x}{x+4} > 1$ , שוב x+4 >0 ולכן מותר לכפול בו על מנת לקבל $3x+4<0$ ולכן $x<-\frac{4}{3}$ , ולכן עבור $-4<x<\frac{4}{3}$ הטור מתבדר. עבור $\frac{4}{3}<x<0$ הטור מתכנס בהחלט.

@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 ==פתרון==
+דבר ראשון, נוכיח את הטענות הבאות:
+*<math>\sum\frac{q^n}{n}</math> מתכנס בהחלט אם <math>|q|<1</math>.
+הוכחה:
+<math>\sum|\frac{q^n}{n}|\leq \sum|q^n| < \infty</math>
+*<math>\sum\frac{q^n}{n}</math> מתבדר אם <math>|q|>1</math>
+הוכחה:
+נסמן <math>|q|=1+\alpha</math>,  כאשר <math>\alpha>0</math>. לכן לפי אי שיוויון ברנולי <math>|q|^n = (1+\alpha)^n \geq 1+n\alpha</math>
+לכן <math>\frac{|q|^n}{n}\geq \frac{1+n\alpha}{n} \geq \alpha </math>  ולכן <math>\lim \frac{|q|^n}{n} \neq 0</math> ולכן <math>\lim\frac{q^n}{n}\neq 0</math>  ולכן הטור וודאי מתבדר.
+כעת, נסמן <math>q=\frac{2x}{x+4}</math> נותר לבדוק מתי |q| גדול מאחד, קטן מאחד או שווה ממש לאחד.
+נפתור את אי השיוויון <math>|\frac{2x}{x+4}| <1</math>. קל לראות ש <math>\frac{2x}{x+4}\geq 0</math> כאשר <math>x>0</math> או <math>x<-4</math>. במקרים אלה ניתן להוריד את הערך המוחלט ולפתור את אי השיוויון.
+אם <math>x>0</math> אזי <math>x+4 >0 </math>,  ורוצים לפתור את אי השיוויון <math>\frac{2x}{x+4} > 1</math> מותר לכפול ב(x+4) ולכן נקבל x>4. לכן סה"כ הטור מתבדר עבור x>4. עבור x<4 יוצא ש <math>\frac{2x}{x+4} < 1</math> ולכן הטור מתכנס בהחלט עבור <math>0<x<4</math>
+אם <math>x<-4</math> אזי <math>x+4 <0 </math> ולכן נכפול ב(x+4) ונחליף את כיוון אי השיוויון לקבל x<4. ביחד עם x<-4 נקבל שהטור מתבדר עבור x<-4. המקרה x>4 לא רלוונטי לנו במקרה זה.
+אם <math>-4<x<0</math> אזי צריך לפתור את אי השיוויון <math>-\frac{2x}{x+4} > 1</math>, שוב x+4 >0 ולכן מותר לכפול בו על מנת לקבל <math>3x+4<0</math> ולכן <math>x<-\frac{4}{3}</math>, ולכן עבור <math>-4<x<\frac{4}{3}</math> הטור מתבדר. עבור <math>\frac{4}{3}<x<0</math> הטור מתכנס בהחלט.

הבדלים בין גרסאות בדף "דוגמא לחקר התכנסות טור עם פרמטר"

גרסה מ־22:12, 21 בנובמבר 2010

תרגיל

פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים