דוגמא לחקר התכנסות טור עם פרמטר
תרגיל
קבע עבור אילו ערכי x הטור הבא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:
פתרון
דבר ראשון, נוכיח את הטענות הבאות:
- מתכנס בהחלט אם .
הוכחה:
- מתבדר אם
הוכחה: נסמן , כאשר . לכן לפי אי שיוויון ברנולי
לכן ולכן ולכן ולכן הטור וודאי מתבדר.
כעת, נסמן נותר לבדוק מתי |q| גדול מאחד, קטן מאחד או שווה ממש לאחד.
נפתור את אי השיוויון . קל לראות ש כאשר או . במקרים אלה ניתן להוריד את הערך המוחלט ולפתור את אי השיוויון.
אם אזי , ורוצים לפתור את אי השיוויון מותר לכפול ב(x+4) ולכן נקבל x>4. לכן סה"כ הטור מתבדר עבור x>4. עבור x<4 יוצא ש ולכן הטור מתכנס בהחלט עבור
אם אזי ולכן נכפול ב(x+4) ונחליף את כיוון אי השיוויון לקבל x<4. ביחד עם x<-4 נקבל שהטור מתבדר עבור x<-4. המקרה x>4 לא רלוונטי לנו במקרה זה.
אם אזי צריך לפתור את אי השיוויון , שוב x+4 >0 ולכן מותר לכפול בו על מנת לקבל ולכן , ולכן עבור הטור מתבדר. עבור הטור מתכנס בהחלט.