הבדלים בין גרסאות בדף "היטל"

מתוך Math-Wiki

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גרסה מ־12:34, 24 בדצמבר 2012

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 תרגילים
- 2.1 1
- 2.2 2

הגדרה

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו W תת מרחב של V ו $v\in V$ וקטור. ההגדרות הבאות למושג היטל v על המרחב W שקולות:

א. יהי $B=\{w_1,...,w_n\}$ בסיס אורתוגונלי לתת המרחב W, אזי ההיטל הינו $\pi_W(v)=\sum_{i=1}^n \frac{<v,w_i>}{<w_i,w_i>}w_i$ (התוצאה לא תלוייה בבחירת הבסיס)

ב. ההיטל הוא הוקטור $\pi_W(v)\in W$ המקיים $v-\pi_W(v)\in W^\perp$

תרגילים

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל $\mathbb{C}$ ממימד n ויהי $U\subseteq V$ תת מרחב ממימד k

א. הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי $\{v_1,...,v_n\}$ למרחב V מתקיים $\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=k$

ב. יהי $S=\{s_1,...,s_n\}$ בסיס כלשהו למרחב V ותהי $G_S$ מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:

|G_S|\leq ||s_1||^2\cdot ||s_2||^2\cdots ||s_n||^2

2

יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו $U,W\subseteq V$ תתי מרחבים כך ש $\dim{U}=m, \dim{W}=k$

א. הוכיחו כי $<v,u>=<\pi_U(v),u>$ לכל $u\in Y, v\in V$

ב. נגדיר אופרטור $P_U:U\rightarrow U$ ע"י $P_U(u)=\pi_U(\pi_W(u))$ .

הוכיחו כי לכל שני וקטורים $u_1,u_2\in U$ מתקיים $<P_U(u_1),u_2>=<u_1,P_U(u_2)>$

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=היטל&oldid=30301