הבדלים בין גרסאות בדף "היטל"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏2)
(←‏תרגילים)
שורה 7: שורה 7:
  
 
==תרגילים==
 
==תרגילים==
 +
===0===
 +
הוכח כי בהגדרה הראשונה להיטל, בחירת הבסיס אינה משנה (כלומר ההיטל נשאר זהה לכל בחירת בסיס).
 +
 
===1===
 
===1===
 
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{C}</math> ממימד n ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב ממימד k
 
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{C}</math> ממימד n ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב ממימד k

גרסה מ־12:36, 24 בדצמבר 2012

תוכן עניינים

הגדרה

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו W תת מרחב של V וv\in V וקטור. ההגדרות הבאות למושג היטל v על המרחב W שקולות:

א. יהי B=\{w_1,...,w_n\} בסיס אורתוגונלי לתת המרחב W, אזי ההיטל הינו \pi_W(v)=\sum_{i=1}^n \frac{<v,w_i>}{<w_i,w_i>}w_i (התוצאה לא תלוייה בבחירת הבסיס)

ב. ההיטל הוא הוקטור \pi_W(v)\in W המקיים v-\pi_W(v)\in W^\perp

תרגילים

0

הוכח כי בהגדרה הראשונה להיטל, בחירת הבסיס אינה משנה (כלומר ההיטל נשאר זהה לכל בחירת בסיס).

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל \mathbb{C} ממימד n ויהי U\subseteq V תת מרחב ממימד k

א. הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי \{v_1,...,v_n\} למרחב V מתקיים \sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=k

ב. יהי S=\{s_1,...,s_n\} בסיס כלשהו למרחב V ותהי G_S מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:

|G_S|\leq ||s_1||^2\cdot ||s_2||^2\cdots ||s_n||^2

2

יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו U,W\subseteq V תתי מרחבים כך ש \dim{U}=m, \dim{W}=k

א. הוכיחו כי <v,u>=<\pi_U(v),u> לכל u\in Y, v\in V


ב. נגדיר אופרטור P_U:U\rightarrow U ע"י P_U(u)=\pi_U(\pi_W(u)).

הוכיחו כי לכל שני וקטורים u_1,u_2\in U מתקיים <P_U(u_1),u_2>=<u_1,P_U(u_2)>

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=היטל&oldid=30302