הבדלים בין גרסאות בדף "היטל"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏תרגילים)
(←‏1)
שורה 17: שורה 17:
 
ב. יהי <math>S=\{s_1,...,s_n\}</math> בסיס כלשהו למרחב V ותהי <math>G_S</math> מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:
 
ב. יהי <math>S=\{s_1,...,s_n\}</math> בסיס כלשהו למרחב V ותהי <math>G_S</math> מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:
 
::<math>|G_S|\leq ||s_1||^2\cdot ||s_2||^2\cdots ||s_n||^2</math>
 
::<math>|G_S|\leq ||s_1||^2\cdot ||s_2||^2\cdots ||s_n||^2</math>
 +
 +
 +
'''פתרון:'''
 +
 +
א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו <math>\{u_1,...,u_k\}</math> לתת המרחב U
 +
 +
<math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_i>,\sum_{j=1}^k<v_i,u_i>>\Big)</math>
  
 
===2===
 
===2===

גרסה מ־08:44, 25 בדצמבר 2012

תוכן עניינים

הגדרה

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו W תת מרחב של V וv\in V וקטור. ההגדרות הבאות למושג היטל v על המרחב W שקולות:

א. יהי B=\{w_1,...,w_n\} בסיס אורתוגונלי לתת המרחב W, אזי ההיטל הינו \pi_W(v)=\sum_{i=1}^n \frac{<v,w_i>}{<w_i,w_i>}w_i (התוצאה לא תלוייה בבחירת הבסיס)

ב. ההיטל הוא הוקטור \pi_W(v)\in W המקיים v-\pi_W(v)\in W^\perp

תרגילים

0

הוכח כי בהגדרה הראשונה להיטל, בחירת הבסיס אינה משנה (כלומר ההיטל נשאר זהה לכל בחירת בסיס).

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל \mathbb{C} ממימד n ויהי U\subseteq V תת מרחב ממימד k

א. הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי \{v_1,...,v_n\} למרחב V מתקיים \sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=k

ב. יהי S=\{s_1,...,s_n\} בסיס כלשהו למרחב V ותהי G_S מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:

|G_S|\leq ||s_1||^2\cdot ||s_2||^2\cdots ||s_n||^2


פתרון:

א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו \{u_1,...,u_k\} לתת המרחב U

\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_i>,\sum_{j=1}^k<v_i,u_i>>\Big)

2

יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו U,W\subseteq V תתי מרחבים כך ש \dim{U}=m, \dim{W}=k

א. הוכיחו כי <v,u>=<\pi_U(v),u> לכל u\in Y, v\in V


ב. נגדיר אופרטור P_U:U\rightarrow U ע"י P_U(u)=\pi_U(\pi_W(u)).

הוכיחו כי לכל שני וקטורים u_1,u_2\in U מתקיים <P_U(u_1),u_2>=<u_1,P_U(u_2)>

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=היטל&oldid=30342