הבדלים בין גרסאות בדף "היטל"

גרסה מ־08:54, 25 בדצמבר 2012

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 תרגילים
- 2.1 0
- 2.2 1
- 2.3 2

הגדרה

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו W תת מרחב של V ו $v\in V$ וקטור. ההגדרות הבאות למושג היטל v על המרחב W שקולות:

א. יהי $B=\{w_1,...,w_n\}$ בסיס אורתוגונלי לתת המרחב W, אזי ההיטל הינו $\pi_W(v)=\sum_{i=1}^n \frac{<v,w_i>}{<w_i,w_i>}w_i$ (התוצאה לא תלוייה בבחירת הבסיס)

ב. ההיטל הוא הוקטור $\pi_W(v)\in W$ המקיים $v-\pi_W(v)\in W^\perp$

תרגילים

0

הוכח כי בהגדרה הראשונה להיטל, בחירת הבסיס אינה משנה (כלומר ההיטל נשאר זהה לכל בחירת בסיס).

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל $\mathbb{C}$ ממימד n ויהי $U\subseteq V$ תת מרחב ממימד k

א. הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי $\{v_1,...,v_n\}$ למרחב V מתקיים $\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=k$

ב. יהי $S=\{s_1,...,s_n\}$ בסיס כלשהו למרחב V ותהי $G_S$ מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:

|G_S|\leq ||s_1||^2\cdot ||s_2||^2\cdots ||s_n||^2

פתרון:

א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו $\{u_1,...,u_k\}$ לתת המרחב U

$\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j,\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j>\Big)=$

$=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<<v_i,u_j>,<v_i,u_j>>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n<<u_j,v_i>,<u_j,v_i>>\Big)=$

$=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(||\pi_V(u_j)||^2\Big)$

אבל $\pi_V(u_j)=u_j$ וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k.

2

יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו $U,W\subseteq V$ תתי מרחבים כך ש $\dim{U}=m, \dim{W}=k$

א. הוכיחו כי $<v,u>=<\pi_U(v),u>$ לכל $u\in Y, v\in V$

ב. נגדיר אופרטור $P_U:U\rightarrow U$ ע"י $P_U(u)=\pi_U(\pi_W(u))$ .

הוכיחו כי לכל שני וקטורים $u_1,u_2\in U$ מתקיים $<P_U(u_1),u_2>=<u_1,P_U(u_2)>$

@@ שורה 23: / שורה 23: @@
 א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו <math>\{u_1,...,u_k\}</math> לתת המרחב U
-<math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_i>,\sum_{j=1}^k<v_i,u_i>>\Big)</math>
+<math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j,\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j>\Big)=</math>
+<math>=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<<v_i,u_j>,<v_i,u_j>>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n<<u_j,v_i>,<u_j,v_i>>\Big)=</math>
+<math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(||\pi_V(u_j)||^2\Big)</math>
+אבל <math>\pi_V(u_j)=u_j</math> וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k.
 ===2===

הבדלים בין גרסאות בדף "היטל"

גרסה מ־08:54, 25 בדצמבר 2012

תוכן עניינים

הגדרה

תרגילים

0

1

2

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים