הבדלים בין גרסאות בדף "העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
מ
 
(6 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 +
[[תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב|חזרה]]
 +
 
<math>A=\begin{pmatrix}
 
<math>A=\begin{pmatrix}
 
  2&1  & 0 & 0\\  
 
  2&1  & 0 & 0\\  
שורה 8: שורה 10:
 
</math>
 
</math>
  
−
נמצא פ"א: <math>p_A(x)=\begin{vmatrix}
+
נמצא פ"א: <math>p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix}
 
  x-2&-1  & 0 & 0\\  
 
  x-2&-1  & 0 & 0\\  
 
  0& x-2 & -1 &0 \\  
 
  0& x-2 & -1 &0 \\  
שורה 15: שורה 17:
 
\end{vmatrix}=(x-1)(x-3)(x-(2-i))(x-(2+i))
 
\end{vmatrix}=(x-1)(x-3)(x-(2-i))(x-(2+i))
 
</math>
 
</math>
 +
 +
 +
(פירוט על אופן החישוב בדף השיחה -- תהליך שגרתי מלינארית 1)
 +
  
 
הע"ע הם שורשי הפ"א, כלומר הם <math>3</math>,<math>1</math>, <math>2-i</math>, <math>2+i</math>.
 
הע"ע הם שורשי הפ"א, כלומר הם <math>3</math>,<math>1</math>, <math>2-i</math>, <math>2+i</math>.
−
הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים, ומכיוון שהפ"מ מחלק את הפ"א מקבלים שהפ"מ זהה לפ"א.
+
הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים, ומכיוון שהפ"מ מחלק את הפ"א והחזקה הn-ית (כאן 3) של הפ"מ מתחלקת בפ״א, מקבלים שהפ"מ זהה לפ"א.  
 +
(שהרי כל הגורמים של הפ"א חייבים להופיע בפ"מ, בחזקה קטנה או שווה לחזקה המתאימה שלהם בפ"א -- וזה כבר קובע את הפ"מ במקרה שלנו.)
  
−
בחזקה של כל גורם בפ"מ היא כגודל בלוק ז'ורדן הגדול ביותר המתאים לו, וכאן זה שווה אחת - לכן זה מספיק כדי לקבוע חד-משמעית את צורת ז'ורדן של המטר', שהיא:  
+
החזקה של כל גורם המתאים לע"ע <math>\lambda</math> בפ"מ היא כגודל בלוק ז'ורדן הגדול ביותר המתאים ל<math>\lambda</math>, וכאן זה שווה אחת - לכן זה מספיק כדי לקבוע חד-משמעית את צורת ז'ורדן של המטר', שהיא:  
 
<math>J=\begin{pmatrix}
 
<math>J=\begin{pmatrix}
 
1 & 0& 0 &0\\  
 
1 & 0& 0 &0\\  

גרסה אחרונה מ־19:56, 27 בדצמבר 2011

חזרה

A=\begin{pmatrix} 2&1 & 0 & 0\\ 0& 2 & 1 &0 \\ 0 & 0& 2 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}

נמצא פ"א: p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} x-2&-1 & 0 & 0\\ 0& x-2 & -1 &0 \\ 0 & 0&x- 2 & -1\\ -1 & 0 & 0 &x- 2 \end{vmatrix}=(x-1)(x-3)(x-(2-i))(x-(2+i))


(פירוט על אופן החישוב בדף השיחה -- תהליך שגרתי מלינארית 1)


הע"ע הם שורשי הפ"א, כלומר הם 3,1, 2-i, 2+i. הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים, ומכיוון שהפ"מ מחלק את הפ"א והחזקה הn-ית (כאן 3) של הפ"מ מתחלקת בפ״א, מקבלים שהפ"מ זהה לפ"א. (שהרי כל הגורמים של הפ"א חייבים להופיע בפ"מ, בחזקה קטנה או שווה לחזקה המתאימה שלהם בפ"א -- וזה כבר קובע את הפ"מ במקרה שלנו.)

החזקה של כל גורם המתאים לע"ע \lambda בפ"מ היא כגודל בלוק ז'ורדן הגדול ביותר המתאים ל\lambda, וכאן זה שווה אחת - לכן זה מספיק כדי לקבוע חד-משמעית את צורת ז'ורדן של המטר', שהיא: J=\begin{pmatrix} 1 & 0& 0 &0\\ 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2-i&0 \\ 0 &0 & 0 & 2+i \end{pmatrix}

מש"ל.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=העברית,_תשס%22ה,_מועד_ב%27,_שאלה_10&oldid=17620