הבדלים בין גרסאות בדף "התכנסות במ"ש"

גרסה מ־11:51, 2 ביוני 2012

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 תנאי שקול
3 דוגמאות
- 3.1 1.
- 3.2 2.

הגדרה

עד כה הגדרנו התכנסות נקודתית של סדרת וטור פונקציות לפונקצית הגבול. ניתן לנסח התכנסות סדרת פונקציות נקודתית בכלל הלוגי הבא:

\forall x_0\in D\forall \epsilon >0 \exists N_{x_0,\epsilon}\forall n>N_{x_0,\epsilon}:|f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon

כאשר D הוא תחום ההגדרה של פונקצית הגבול.

אנו אומרים כי סדרת הפונקציות מתכנסת במידה שווה (במ"ש) בתחום $A\subseteq D$ אם קיים $N_\epsilon$ המתאים לכל $x\in A$ . כלומר מתקיים התנאי הלוגי הבא:

\forall \epsilon >0\exists N_\epsilon\forall n>N_\epsilon \forall x\in A:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon

ניתן גם לומר שסדרת פונקציות מתכנסת במידה שווה אם לכל אפסילון קיים מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל הפונקציות נמצאות בין פונקצית הגבול פחות אפסילון לפונקצית הגבול ועוד אפסילון.

מסמנים התכנסות במ"ש: $f_n(x)\rightrightarrows f(x)$

תנאי שקול

סדרת פונקציות $f_n(x)$ מתכנסת במ"ש לפונקציה הגבול $f(x)$ בתחום A אם"ם

\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in A}|f_n(x)-f(x)\Big]=0

דוגמאות

1.

ראינו כי $x^n\rightarrow 0$ בתחום $(-1,1)$ . האם התכנסות בתחום זה במ"ש?

\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in (-1,1)}|x^n-0|\Big]=1\neq 0

ולכן ההתכנסות בתחום זה אינה במ"ש

@@ שורה 14: / שורה 14: @@
 ניתן גם לומר שסדרת פונקציות מתכנסת במידה שווה אם לכל אפסילון קיים מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל הפונקציות נמצאות בין פונקצית הגבול פחות אפסילון לפונקצית הגבול ועוד אפסילון.
+מסמנים התכנסות במ"ש: <math>f_n(x)\rightrightarrows f(x)</math>
 ==תנאי שקול==

הבדלים בין גרסאות בדף "התכנסות במ"ש"

גרסה מ־11:51, 2 ביוני 2012

תוכן עניינים

הגדרה

תנאי שקול

דוגמאות

1.

2.

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים