שינויים
סיכום הנושא המלא נמצא בדף [[88-101 חשיבה מתמטית]].
==קַשָּרִיםפסוקים וקַשָּרִים, כַּמָּתִיםפרדיקטים וכַּמָּתִים, הצרנה וטבלאות אמת==
=== אטומים ופרדיקטים , פסוקים וקשרים===
הגדרה (לא פורמאלית): השפה העברית מורכבת ממשפטים. המקבילה בשפה המתמטית נקראת "פסוק".ה'''אטומים''' הם חלק מאבני היסוד של הפסוקים.
לדוגמא: הפסוק "שנת הלימודים החלה ויש 5 קורסים בשנה א'" מורכב משני אטומים- "שנת הלימודים החלה" ו"יש 5 קורסים בשנה א'" (שני האטומים מקשורים ע"י וו החיבור)
כפי שציינו פסוקים הם יחידות תוכן יותר מורכבות בשל השימוש בקשרים.=== קַשָּרִים וְכַמָּתִים =קשרים ===== קשרים ===
הגדרה: יהיו A,B אטומים (או פרדיקטיםפסןקים) היכולים להיות אמת (1) או שקר (0) אזי הקשרים
* <math>A\to B</math> - "גרירה" (חד כיוונית)
* <math>A \or B</math> "או"
* <math>A\and B</math> "וגם"
* <math>\neg A</math> "שלילה"
מוגדרים ע"י טבלאת האמת הבאה(טבלת שכל שורה בה מתאימה להצבה אחרת אחרת באטומים):
{| border="1" align="center" style="text-align:center;"
* מספר (טבעי) מסוים n ניתן להצגה בעזרת 2 ספרות (בבסיס עשרוני) <math>\iff</math> המספר n קטן מ 100. הפסוק יקבל ערך T רק אם שני התנאים יתקיימו ביחד. במילים אחרות, אם אחד מתקיים גם השני. במילים אחרות, אם אחד לא מתקיים והשני אז השני גם לא מתקיים.
תכונות הקשרים:
* כללי דה מורגן <math>\neg (A \lor B) = \neg A \land \neg B, \neg (A \land B) = \neg A \lor \neg B</math>. תוכיחו אחד מהם בתרגיל הבית
הצרנה- כתיבת רעיון בעזרת ניסוח פורמאלי
פתרון: נסמן A אני עייף, B אני רעב, C אני עצבני, D אני הולך לישון
ההצרנה <math>[(A\land B)\to (C\lor D)]\and[(C \land \lnot A)\to B]</math>
===פרדיקטים וכמתים===
בניגוד לאטומים שהם ללא משתנים ה'''פרדיקטים''' הינם פונקציות התלויות במשתנים. לדוגמא ניתן להגדיר את הפרדיקט <math>S(x)</math> להיות x הינו סטודנט באוניברסיטה.
כיוון שאטומים הם ללא משתנים הם יכולים להיות T או F אבל לא שניהם. לעומתם פרדיקטים הם תלויים במשתנים ולכן ערך האמת שלהם יקבע לפי ההצבה במשתנים. למשל הפרדיקט <math>S(x,y)=x<y</math> יהיה נכון במקרה ש <math>S(2,3)</math> ולא נכון במקרה ש <math>S(3,2)</math>. כלומר לכל הצבה במשתני הפרדיקטים נקבל פסוק. הערה: משמשים בקשרים גם בפרדיקטים למשל <math>S(x,y)</math> הפרדיקט המוגדר <math>x>0 \land x<y</math>
בנוסף, ניתן להוסיף כמתים.
הכמת "לכל" <math>\forall</math> והכמת "קיים" <math>\exist</math>
תפקיד מרכזי של הכמת הוא להבהיר את כוונת הטענה. למשל הטענה ש "סטונדט הוא יצור חרוץ" יכולה לקבל 2 משמעויות בעזרת הכמתים. או "כל סטודנט הוא יצור חרוץ" או "קיים סטודנט שהוא יצור חרוץ".
הטענה הראשונה טוענת לגבי כלל הסטודנטים (אם רוצים להוכיח כי הטענה נכונה צריך לעבור בין כל הסטודנטים ולוודא שהם חרוצים ואם רוצים להוכיח כי הטענה לא נכונה מספיק למצוא סטודנט אחד שאינו חרוץ).
לעומתה הטענה השניה טוענת שניתן למצוא סטודנט אחד (לפחות) שהוא חרוץ (אם רוצים להוכיח את הטענה צריך למצוא סטודנט שהוא חרוץ ואם רוצים להוכיח כי הטענה לא נכונה צריך לעבור בין כל הסטודנטים ולוודא שהם אינם חרוצים
הצרן: לכל מספר p גדול מ-1: (p ראשוני) אמ"מ (אם הוא מחלק מכפלת מספרים אז הוא מחלק את אחד המספרים).
* <math>P(x)</math> הוא הפרדיקט "x" הוא ראשוני.
* <math>Q(x)</math> הוא הפרדיקט <math>\forall a,b : p|ab \Rightarrow (p|a \lor p|b)</math>
הערה: אחרי שמכמתים על כל משתני הפרדיקט מקבלים פסוק ללא משתנים.
נשים לב כי בשביל לקבוע אם הפסוק <math>\forall x P(x)</math> אנחנו צריכים לדעת איזה x ים "חוקיים" (בהנחה שאנחנו יודעים את P) ומכאן שנעבור להגדרות הבאות.
===הגדרות הקשורות לקבוצות===
* <math>\ (A \leftrightarrow B) \equiv (A \rightarrow B) \wedge (B \rightarrow A)</math>.
* <math>\ (A \rightarrow B) \equiv ((\neg B) \rightarrow (\neg A))</math>.
הערה (טרמינולוגיה):
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ל A פירושו הוא <math>A \to B</math>
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי מספיק ל A פירושו הוא <math>B \to A</math>
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ומספיק ל A פירושו הוא <math>B \iff A</math>
דוגמאות מילוליות:
