שינויים

*דיסטריביוטיביות: <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)</math>, וגם <math>A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)</math>

נוכיח שההפרש הסימטרי הוא קיבוצי, כלומר: לכל שלש קבוצות <math>A,B,C</math> מתקיים : <math>A\triangle (B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C</math>

אפשרי ע"י טבלת אמת הנקראת טבלת שכיחויות.

הוכח כי:

א. הקבוצה הריקה <math>\phi=\{\}</math> מוכלת בכל קבוצה A

ג. <math>\phi \cup A = A </math>

א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a : a\in \phi \Rightarrow a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר.

#<math>A\cap B=\phi</math> (לא)

הוכח כי <math>A\cap (B/C)=(A\cap B) / (A\cap C)</math>

דרך גרירות לוגיות:

<math>x\in A\cap(B\backslash C)\Leftarrow </math>

נתונות <math>A=\{2m+1:m\in\mathbb{Z}\}</math>, ו <math>B=\{2m+3:m\in\mathbb{Z}\}</math>. הוכח שA=B.

נוכיח הכלה דו כיוונית. נניח <math>x\in A</math> לכן קיים מספר שלם m כך ש <math>x=2m+1</math>. קל לראות שמתקיים <math>x=2(m-1)+3</math> אבל אז מכיוון ש m-1 הינו מספר שלם מתקיים <math>x\in B</math> כפי שרצינו.

ההכלה בכיוון ההפוך דומה.

'''הגדרה''': תהי קבוצה U (אוניברסלית) ותהי תת קבוצה שלה <math>A\subseteq U</math>. נגדיר את ה'''משלים''' של A (ביחס ל <math>U</math> להיות:

<math>x\in (\cap _{i\in I} A_i)^c \iff x\in U \land \exists i\in I:x\notin A_i \iff \exists i\in I: x\in A_i^c \iff x\in \cup_{i\in I}A_i^c</math>

הוכיחו: <math>A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)</math>

'''הגדרה''': תהי קבוצה A. נגדיר את '''קבוצת החזקה''' של A בתור אוסף כל תתי הקבוצות של A. מסומן <math>P(A)=\{X:X\subseteq A\}</math>

האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה?

יהיו A,B,C קבוצות. הוכיחו/הפריכו:

א. '''הפרכה''': <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>. אזי ברור שA איננה מוכלת בחיתוך של B וC אבל <math>(A/B)\cap(A/C)=\{2\}\cap\{1\}=\phi</math>