שינויים
/* יחסי סדר */
*חסם מלעיל של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>
*חסם מלרע של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(x,y)\in R </math>
*החסם העליון (סופרמום) של B הינו המינימום של קבוצת האיבר הקטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן <math>sup(B)</math>*החסם התחתון (אינפימום) של B הינו המקסימום של קבוצת האיבר הגדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן <math>inf(B)</math>
=== דוגמאות ===
למשל <math>sup\{12,33,10\}=lcm(12,33,10)=3\cdot 4 \cdot 11 \cdot 5, inf\{12,33,10\}=gcd(12,33,10)=1</math>
'''הערה:''' היחס "מחלק את" על השלמים איננו יחס סדר חלקי, כיון שמתקיים, למשל, ש- <math>-2|2\land 2|-2\land 2\neq -2</math>.
'''דוגמא'''
<math>\cup _{i\in I} A_i </math>
===תרגיל===
הוכיחו: אם <math>x</math> חסם מלרע של <math>B</math> וגם <math>x\in B</math> אזי <math>inf(B)=x</math> (וגם ב B יש איבר קטן ביותר
שהוא x).
====פתרון====
צריך להראות ש- <math>x</math> גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של <math>B</math>. יהי <math>y</math> חסם מלרע של <math>B</math>, לכן, לכל <math>b\in B</math> מתקיים ש- <math>y\leq b</math>, ובפרט עבור <math>x\in B</math> נקבל <math>y\leq x</math>. זוהי בדיוק ההגדרה של גדול ביותר.
בנוסף, יהי <math>b\in B</math>, כיון ש-<math>x</math> חסם מלרע נקבל <math>x\leq b</math>, ולכן <math>x</math> קטן ביותר ב-<math>B</math>.
'''הגדרה.''' יהי R יחס סדר חלקי על A. אם לכל שני איברים a,b בA מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי R נקרא '''יחס סדר מלא'''.
נניח בשלילה שקיים איבר ממשי r שאינו בB, ולכל איבר b ב-B ההפרש r-b אינו רציונאלי. לכן אם נוסיף את r ל-B נקבל קבוצה מגניבה המכילה ממש את B (ולא שווה לה) בסתירה למקסימאליות של B.
=== יחס סדר מילוני ===
