שינויים
/* תרגיל */
חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]]. ==כמתים כַּמָּתִים ופרדיקטים==
===פרדיקטים===
גם אטומים וגם פרדיקטים יכולים להיות אמיתיים (מסמנים 1 או T) או שקריים (מסמנים 0 או F). המינוח המקובל הוא שאטום/פרדיקט הוא בעל '''ערך אמת''' T (במידה שהוא נכון) או בעל '''ערך אמת''' F (במידה שאינו נכון).
כיוון שאטומים הם ללא משתנים הם יכולים להיות T או F אבל לא שניהם. לעומתם, פרדיקטים הם תלויים במשתנים ולכן ערך האמת שלהם יקבע לפי ההצבה במשתנים. למשל הפרדיקט <math>SP(x,y)=x<y</math> יהיה נכון במקרה ש <math>SP(2,3)</math> ולא נכון במקרה ש <math>SP(3,2)</math>.
===כמתים===
בנוסף, לקשרים ניתן להוסיף כמתים(quantifiers). החשובים שבהם הם הכמת "לכל" <math>\forall</math> (זו A הפוכה, קיצור המילה All) והכמת "קיים" <math>\exist</math>(זו E הפוכה, קיצור המילה Exist).
תפקיד מרכזי של הכמת הוא להבהיר את כוונת הטענה. למשל הטענה ש "סטונדט הוא יצור חרוץ" יכולה לקבל 2 משמעויות בעזרת הכמתים. או "כל סטודנט הוא יצור חרוץ" או "קיים סטודנט שהוא יצור חרוץ".
לעומתה הטענה השניה טוענת שניתן למצוא סטודנט אחד (לפחות) שהוא חרוץ (אם רוצים להוכיח את הטענה צריך למצוא סטודנט שהוא חרוץ ואם רוצים להוכיח כי הטענה לא נכונה צריך לעבור בין כל הסטודנטים ולוודא שהם אינם חרוצים).
פתרון:
ההצרנה <math>\forall p >1 : (P(p)\iff Q(p))</math> כאשר
* <math>P(x)</math> הוא הפרדיקט "<math>x" </math> הוא ראשוני".
* <math>Q(x)</math> הוא הפרדיקט <math>\forall a,b : p|ab \Rightarrow (p|a \lor p|b)</math>
הערה: סדר הכמתים כן משנה (לפעמים) למשל <math>\exist x\forall y S(x,y)</math> לא שקול לפסוק <math>\forall y \exist x S(x,y)</math>.
לדוגמא: יש הבדל בין "לכל סיר קיים מכסה" לבין "קיים מכסה שמתאים לכל סיר".האם אחד מן הפסוקים האלו גורר את השני?
עוד דוגמא: הצרן את המשפט "לכל מספר טבעי יש מספר טבעי הגדול ממנו" פתרון: <math>\forall n\in\mathbb{N}\,\exists m\in\mathbb{N}:n<m</math> לעומת זאת <math>\exists m\in\mathbb{N}\,\forall n\in\mathbb{N}:n<m</math> פירושו שקיים מספר טבעי שגדול מכל המספרים הטבעיים.
נשים לב כי בשביל לקבוע אם הפסוק <math>\forall x P(x)</math> אנחנו צריכים לדעת איזה <math>x</math>-ים "חוקיים" (בהנחה שאנחנו יודעים את <math>P</math>).
==שלילת פסוקים==
מהי השלילה של הפסוק "לכל סיר יש מכסה המתאים לו", או "לכל מאכל, יש מישהו שמכין אותו טעים"?
בעת שלילה של פסוק לוגי, הכמתים 'לכל' ו'קיים' מתחלפים זה עם זה, והשלילה עוברת הלאה. את השלילה כלומר לכל פרדיקט <math>P</math>, * <math>\ \neg \forall x: P(x) \equiv \exists x: \neg P(x)</math>, וכך גם* <math>\ \neg \exists x: P(x) \equiv \forall x: \neg P(x)</math>. שלילה על הקשרים ניתן לבצע באמצעות טאוטולוגיות וטבלאות אמת.
====תרגיל====
<math>\lnot (\forall a\in \mathbb{ZN} \exists b\in \mathbb{N} (a|b\rightarrow (a<\leq b\land a+b<a\neq 0cdot b)))</math>
פיתרון: ראשית נראה מה הטענה בעצם אומרת:
<math>\exists a\in \mathbb{ZN} \forall b\in \mathbb{N} (a|b \land (a>b \lor a+b\geq a\cdot b ))</math> שימו לב שנעזרו בשקילות <math>\ (A\rightarrow B) \equiv ((\neg A) \lor B)</math> ובחוקי דה-מורגן. כעת נשים לב שאם <math>a|b</math> אז <math>a\leq b</math> ולכן כדי שזה יהיה נכון צריך שיתקיים <math>a+b\geq a\cdot b</math> וזה אכן קורה עבור <math>a=0))1</math>.
====תרגיל====
פיתרון:
א. הפרכה. ניקח את <math>P (n)</math> להיות <math>1 </math> על הזוגיים ו-<math>0 </math> על אי-זוגיים, ןQ להיפךו-<math>Q(n)</math> להפך.אכן כל מספר טבעי הוא זוגי או אי-זוגי, אך זה לא נכון שכל מספר הוא זוגי או שכל מספר הוא אי-זוגי.
ב. הוכחה: יהי <math>n</math> . אם מתקיים <math>P(n)</math> אז בפרט מתקיים <math>P(n) \lor Q(n)</math> כדרוש. אחרת, לפי הנתון השקילות <math>a\lor b \equiv \lnot a \rightarrow b</math>, מתקיים שלכל מס' טבעי, ובפרט עבור <math>n</math>, מתקיים <math>Q(n)</math>, ולכן מתקיים <math>P(n) \lor Q(n)</math> כדרוש. ====תרגיל====הצרן את המשפט "כל מספר ממשי ניתן לקרב ע"י מספרים רציונאליים בקירוב טוב כרצוננו".
מה היא שלילתו של המשפט?
פתרון: נכתוב את הרמות השלילות השונותהאפשריות:
* <math>\neg(\forall x\in\mathbb{R}\,\exists A\subset\mathbb{Q}:\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:|x-q|<\epsilon )</math>
* <math>\exists x\in\mathbb{R}\,\neg( \exists A\subset\mathbb{Q}:\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:|x-q|<\epsilon )</math>
* <math>\exists x\in\mathbb{R}\, \forall A\subset\mathbb{Q}:\neg(\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:|x-q|<\epsilon )</math>
* <math>\exists x\in\mathbb{R}\, \forall A\subset\mathbb{Q}:\exists\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\neg(\exists q\in A\,:|x-q|<\epsilon )</math>
* <math>\exists x\in\mathbb{R}\, \forall A\subset\mathbb{Q}:\exists\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\forall q\in A\,\neg(:|x-q|<\epsilon )</math>
*<math>\exists x\in\mathbb{R}\,\forall A\subset\mathbb{Q}:\exists\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\forall q\in A\,:|x-q|\geq\epsilon</math>
תרגילים:
דוגמאות של הצרנת ושלילת המושגים 'תלות לינארית', 'גבול סדרה', 'חח"ע', וכדומה