פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1'

נשתמש בעובדה שכל פולינום מעל $\mathbb C$ מתפרק לגורמים לינאריים נבדוק מה צורת הג'ודן של $A$ מעל $\mathbb C$ נשים לב ש $A\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3\\ 3\\ 3 \end{array}\right)\Longrightarrow\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right)\in V_{3}$

בנוסף בגלל שלמטריצות דומות אותה דרגה אנחנו יודעים רכיב באלכסון 3 אנחנו יודעים שכל שאר השורות הם או מהצורה $\left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

או מהצורה $\left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0\\ a & 0 & 0\\ b & 0 & 0 \end{array}\right)$

כך ש אחד מהמשתנים $a,b\neq0$ שזו סתירה לכך שהיא בצורת ג'ורדן

ולכן המטריצות דומות מעל $\mathbb C$ בדיעבד קיבלנו שהפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים מעל $\mathbb R$ כי למטריצות דומות אותו פולינום אופייני ובפרט מעל $\mathbb C$ ומיחידות צורת ג'ורדן $A\sim B$ מעל $\mathbb R$ כי אחרת היינו מקבלים 2 צורות ג'ורדן שונות מעל C