הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1'"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "בגלל שיש לה וקטור עצמי (1,1,1) ששיך לערך עצמי 3 והדרגה של המטריצה היא 1 ולמטריצות דומות אותה דר...")
 
 
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
בגלל שיש לה וקטור עצמי (1,1,1) ששיך לערך עצמי 3 והדרגה של המטריצה היא 1 ולמטריצות דומות אותה דרגה כי כל מטריצה הפיכה היא מכפלה של פעולות שורה ולכן יש רכיב באלכסון של 3 אבל שאר השורות חייבות להיות שורות אפסים כדי לשמור על הדרגה ועל הג'ורדניות שלה
+
נשתמש בעובדה שכל פולינום מעל <math>\mathbb C</math> מתפרק לגורמים לינאריים
 +
נבדוק מה צורת הג'ודן של <math>A</math> מעל <math>\mathbb C</math> נשים לב ש <math>A\left(\begin{array}{c}
 +
1\\
 +
1\\
 +
1
 +
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
 +
3\\
 +
3\\
 +
3
 +
\end{array}\right)\Longrightarrow\left(\begin{array}{c}
 +
1\\
 +
1\\
 +
1
 +
\end{array}\right)\in V_{3}</math>
 +
 
 +
בנוסף בגלל שלמטריצות דומות אותה דרגה אנחנו יודעים רכיב באלכסון 3 אנחנו יודעים שכל שאר השורות הם או מהצורה <math>\left(\begin{array}{ccc}
 +
3 & 0 & 0\\
 +
0 & 0 & 0\\
 +
0 & 0 & 0
 +
\end{array}\right)</math>
 +
 
 +
או מהצורה <math>\left(\begin{array}{ccc}
 +
3 & 0 & 0\\
 +
a & 0 & 0\\
 +
b & 0 & 0
 +
\end{array}\right)</math>
 +
 
 +
כך ש אחד מהמשתנים <math>a,b\neq0</math> שזו סתירה לכך שהיא בצורת ג'ורדן
 +
 
 +
ולכן המטריצות דומות מעל <math>\mathbb C</math>
 +
בדיעבד קיבלנו שהפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים מעל <math>\mathbb R</math> כי למטריצות דומות אותו פולינום אופייני ובפרט מעל <math>\mathbb C</math> ומיחידות צורת ג'ורדן
 +
<math>A\sim B</math> מעל <math>\mathbb R</math> כי אחרת היינו מקבלים 2 צורות ג'ורדן שונות מעל C

גרסה אחרונה מ־11:46, 5 בינואר 2012

נשתמש בעובדה שכל פולינום מעל \mathbb C מתפרק לגורמים לינאריים נבדוק מה צורת הג'ודן של A מעל \mathbb C נשים לב ש A\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3\\ 3\\ 3 \end{array}\right)\Longrightarrow\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right)\in V_{3}

בנוסף בגלל שלמטריצות דומות אותה דרגה אנחנו יודעים רכיב באלכסון 3 אנחנו יודעים שכל שאר השורות הם או מהצורה \left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

או מהצורה \left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0\\ a & 0 & 0\\ b & 0 & 0 \end{array}\right)

כך ש אחד מהמשתנים a,b\neq0 שזו סתירה לכך שהיא בצורת ג'ורדן

ולכן המטריצות דומות מעל \mathbb C בדיעבד קיבלנו שהפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים מעל \mathbb R כי למטריצות דומות אותו פולינום אופייני ובפרט מעל \mathbb C ומיחידות צורת ג'ורדן A\sim B מעל \mathbb R כי אחרת היינו מקבלים 2 צורות ג'ורדן שונות מעל C

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=פתרון_לינארית_2,_אונ%27_בר_אילן,_תש%22ע,_מועד_ב%27,_שאלה_1%27&oldid=18076