הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
 
(9 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
בעבודה!
+
[[תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב|חזרה]]
−
 
+
  
 
<math>A=\begin{pmatrix}
 
<math>A=\begin{pmatrix}
שורה 11: שורה 10:
 
נמצא את הפ"א:
 
נמצא את הפ"א:
  
−
<math>p_A(x)=\begin{vmatrix}
+
<math>p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix}
 
x-1 & -1 & -1\\  
 
x-1 & -1 & -1\\  
 
  0&x-1  &0 \\  
 
  0&x-1  &0 \\  
שורה 17: שורה 16:
 
\end{vmatrix}=(x-1)^3</math>
 
\end{vmatrix}=(x-1)^3</math>
  
−
<math>A-I</math> נילפוטנטית מסדר 3.
+
שכן דטר' של מטר' משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי.
  
  
−
נקבל בסוף שצורת הז'ורדן היא <math>J=\begin{pmatrix}
+
<math>A-I</math> הינה מטריצה נילפוטנטית מאינדקס 2, לפי בדיקה ישירה, שכן: <math>A-I\neq 0_{3\times 3}</math> ואילו <math>(A-I)^2=\begin{pmatrix}
−
1 & 0 &0 \\
+
 
0 & 1 & 1\\  
 
0 & 1 & 1\\  
 +
0&0  &0 \\
 +
0 & 0 & 0
 +
\end{pmatrix}^2=0_{3\times 3}</math>
 +
.
 +
 +
לכן (לפי משפט שהוכחנו) הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 2=אינדקס הנילפוטנטיות. לכן בצורת הז'ורדן הדומה לה הבלוקים הם <math>J_2(0)</math> ו- <math>J_1(0)</math>.
 +
 +
 +
לכן קיימת <math>P</math> הפיכה, כך ש-
 +
<math>P^{-1}(A-I)P=\begin{pmatrix}
 +
J_2(0) & 0\\
 +
  0 & J_1(0)\\
 +
 +
\end{pmatrix}
 +
 +
</math>
 +
.
 +
 +
נפתח סוגריים ונפשט:
 +
<math>P^{-1}(A-I)P=P^{-1}AP-P^{-1}IP=P^{-1}AP-I=\begin{pmatrix}
 +
0 & 1 & 0\\
 +
0 & 0 & 0\\
 +
0 &  0& 0
 +
\end{pmatrix}
 +
 +
</math>
 +
 +
 +
נעביר אגפים, ונקבל ש <math>P^{-1}AP=I+\begin{pmatrix}
 +
0 & 1 & 0\\
 +
0 & 0 & 0\\
 +
0 &  0& 0
 +
\end{pmatrix}=
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 & 1 & 0\\
 +
0 & 1 & 0\\
 +
0 &  0& 1
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 +
 +
לכן צורת ז'ורדן היא <math>J=\begin{pmatrix}
 +
1 & 1 &0 \\
 +
0 & 1 & 0\\
 
  0& 0 & 1
 
  0& 0 & 1
 
\end{pmatrix}</math>
 
\end{pmatrix}</math>
 +
שהיא מטריצה מספר 1, ולכן התשובה היא 1.
 +
 +
מ.ש.ל.

גרסה אחרונה מ־15:04, 29 בדצמבר 2011

חזרה

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0&1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}


נמצא את הפ"א:

p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} x-1 & -1 & -1\\ 0&x-1 &0 \\ 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix}=(x-1)^3

שכן דטר' של מטר' משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי.


A-I הינה מטריצה נילפוטנטית מאינדקס 2, לפי בדיקה ישירה, שכן: A-I\neq 0_{3\times 3} ואילו (A-I)^2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0&0 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2=0_{3\times 3} .

לכן (לפי משפט שהוכחנו) הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 2=אינדקס הנילפוטנטיות. לכן בצורת הז'ורדן הדומה לה הבלוקים הם J_2(0) ו- J_1(0).


לכן קיימת P הפיכה, כך ש- P^{-1}(A-I)P=\begin{pmatrix} J_2(0) & 0\\ 0 & J_1(0)\\ \end{pmatrix} .

נפתח סוגריים ונפשט: P^{-1}(A-I)P=P^{-1}AP-P^{-1}IP=P^{-1}AP-I=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0& 0 \end{pmatrix}


נעביר אגפים, ונקבל ש P^{-1}AP=I+\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0& 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 1 \end{pmatrix}


לכן צורת ז'ורדן היא J=\begin{pmatrix} 1 & 1 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} שהיא מטריצה מספר 1, ולכן התשובה היא 1.

מ.ש.ל.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=פתרון_לינארית_2,_אונ%27_בר_אילן,_תשס%22ב,_מועד_א,_שאלה_6&oldid=17751