הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
שורה 19: שורה 19:
 
<math>A-I</math> הינה מטריצה נילפוטנטית מאינדקס 2, לפי בדיקה ישירה, ולכן (לפי משפט שהוכחנו) הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 2=אינדקס הנילפוטנטיות. לכן בצורת הז'ורדן הדומה לה הבלוקים הם <math>J_2(0)</math> ו- <math>J_1(0)</math>.
 
<math>A-I</math> הינה מטריצה נילפוטנטית מאינדקס 2, לפי בדיקה ישירה, ולכן (לפי משפט שהוכחנו) הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 2=אינדקס הנילפוטנטיות. לכן בצורת הז'ורדן הדומה לה הבלוקים הם <math>J_2(0)</math> ו- <math>J_1(0)</math>.
  
 +
לכן קיימת <math>P</math> הפיכה, כך ש-
 +
<math>
 +
P^{-1}(A-I)P=P^{-1}AP-P^{-1}IP=P^{-1}AP-I=\begin{pmatrix}
 +
0 & 0 & 0\\
 +
0 & 0 & 1\\
 +
0 &  0& 0
 +
\end{pmatrix}
  
−
נקבל בסוף שצורת הז'ורדן היא <math>J=\begin{pmatrix}
+
</math>
 +
 
 +
נעביר אגפים, ונקבל שצורת הז'ורדן היא <math>J=\begin{pmatrix}
 
1 & 0 &0 \\  
 
1 & 0 &0 \\  
 
0 & 1 & 1\\  
 
0 & 1 & 1\\  

גרסה מ־10:50, 18 בדצמבר 2011

בעבודה!


A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0&1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}


נמצא את הפ"א:

p_A(x)=\begin{vmatrix} x-1 & -1 & -1\\ 0&x-1 &0 \\ 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix}=(x-1)^3

A-I הינה מטריצה נילפוטנטית מאינדקס 2, לפי בדיקה ישירה, ולכן (לפי משפט שהוכחנו) הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 2=אינדקס הנילפוטנטיות. לכן בצורת הז'ורדן הדומה לה הבלוקים הם J_2(0) ו- J_1(0).

לכן קיימת P הפיכה, כך ש- P^{-1}(A-I)P=P^{-1}AP-P^{-1}IP=P^{-1}AP-I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0& 0 \end{pmatrix}

נעביר אגפים, ונקבל שצורת הז'ורדן היא J=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 1\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} שדומה למטר' מספר 1, ולכן התשובה היא 1.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=פתרון_לינארית_2,_אונ%27_בר_אילן,_תשס%22ב,_מועד_א,_שאלה_6&oldid=17085