הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"א, מועד ב, שאלה 7"

גרסה מ־20:04, 27 בדצמבר 2011

ידוע שמטריצות דומות <=> צורת ז'ורדן שלהן זהה. נראה של $A,B$ יש אותה צורת ז'ורדן, ולכן הן בהכרח דומות:

ל- $A$ יש $n$ ע"ע שונים בשדה, ולכן הפ"א שלה הוא מהצורה $(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)...(x-\lambda_n)$ .

ידוע שאם הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים, אזי הפ"מ=פ"א, ולכן גם הפ"מ הוא מהצורה דלעיל.

ל- $B$ יש אותו הפ"א, $(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)...(x-\lambda_n)$ , ולכן גם הפ"מ שלה הוא הביטוי הנ"ל.

קיבלנו שגם ל- $B$ יש $n$ ע"ע שונים ב-F.

(החזקה של הגורם $\ x-\lambda_i$ בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- $\lambda_i$ בצורת ז'ורדן של המטריצה.

אבל אצלנו כל החזקות הנ"ל שוות 1, ולכן כל הבלוקים בצורת ז'ורדן הם מסדר 1.)

הריבוי האלגברי של ע"ע $\lambda$ בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- $\lambda$ בצורת ז'ורדן.

בשאלה שלנו כל הריבויים הנ"ל שווים 1, ולכן יש בדיוק בלוק ז'ורדן אחד לכל ע"ע, והוא מסדר 1.

לכן צורת ז'ורדן של A ושל B היא $J=\begin{pmatrix} J_1(\lambda_1) & & & \\ & J_1(\lambda_2)& & \\ & &... & \\ & & & J_1(\lambda_n) \end{pmatrix}$

צורת ז'ורדן שלהן זהה, ולכן הן דומות. מש"ל.

@@ שורה 7: / שורה 7: @@
 ל-<math>B</math> יש אותו הפ"א, <math>(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)...(x-\lambda_n)</math>, ולכן גם הפ"מ שלה הוא הביטוי הנ"ל.
-החזקה של הגורם <math>\ x-\lambda_i</math> בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- <math>\lambda_i</math> בצורת ז'ורדן של המטריצה.
+קיבלנו שגם ל-<math>B</math> יש <math>n</math> ע"ע שונים ב-F.
+(החזקה של הגורם <math>\ x-\lambda_i</math> בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- <math>\lambda_i</math> בצורת ז'ורדן של המטריצה.
+אבל אצלנו כל החזקות הנ"ל שוות 1, ולכן כל הבלוקים בצורת ז'ורדן הם מסדר 1.)
+הריבוי האלגברי של ע"ע <math>\lambda</math> בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- <math>\lambda</math> בצורת ז'ורדן.
+בשאלה שלנו כל הריבויים הנ"ל שווים 1, ולכן יש בדיוק בלוק ז'ורדן אחד לכל ע"ע, והוא מסדר 1.
+לכן צורת ז'ורדן של A ושל B היא <math>J=\begin{pmatrix}
+J_1(\lambda_1) &  &  & \\
+ &  J_1(\lambda_2)&  & \\
+ &  &...  & \\
+ &  &  & J_1(\lambda_n)
+\end{pmatrix}</math>
+צורת ז'ורדן שלהן זהה, ולכן הן דומות. מש"ל.