|
|
| (4 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות) |
| שורה 1: |
שורה 1: |
| − | '''הערה:''' מי שיוסיף, לאחר הפתרון של אוהד להלן, פתרון סטנדרטי יותר לפי החוברת בנושא משפט ג'ורדן שהעליתי לאתר הקורס, יזכה גם הוא בנקודה על שאלה זו. (בועז)
| + | נתונות המטריצות <math>A=\begin{pmatrix} |
| | + | 1& 1 & 0 & 0\\ |
| | + | 0 & -1 & 1 & 0\\ |
| | + | 0 & 0 & 1 & 1\\ |
| | + | 0 & 0 & 0 & -1 |
| | + | \end{pmatrix} |
| | + | , B=\begin{pmatrix} |
| | + | 0 & 1 & 0 & 1\\ |
| | + | 1 & 0 & 0 & 0\\ |
| | + | 0 & 0 & 0 & 1\\ |
| | + | 0 & 0 & 1 & 0 |
| | + | \end{pmatrix}</math> האם הן דומות? הוכח את טענת. |
| | | | |
| − | התרגיל:
| + | כן הן דומות. נוכיח שצורת הג'ורדן של שתיהן שווה, ונקבל ש: <math>A\sim J_{A}=J_{B}\sim B</math> ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות נקבל ש <math>A\sim B</math> |
| − | נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
| + | |
| − | 5 & 0 & 0 & 0 \\
| + | |
| − | 1 & 4 & 0 & 0\\
| + | |
| − | 2 & 3 & 3 & 0\\
| + | |
| − | 4 & 5 & 6 & 3
| + | |
| − | \end{pmatrix}</math>
| + | |
| | | | |
| − | א) מצא את צורת ז'ורדן של A
| + | נחשב את הפולינום האופייני של A, ונקבל כי <math>P_{A}(x)=(x+1)^{2}(x-1)^{2}</math> וגם כי הפולינום המינימלי של A שווה לפולינום האופייני ובסה"כ <math>M_{A}(x)=(x+1)^{2}(x-1)^{2}</math> |
| | | | |
| − | ב) מצא P הפיכה כך ש <math>P^{-1}AP</math> היא צורת ז'ורדן של A.
| + | במקרה זה, המטריצה הנ"ל מורכבת משני חלקי ג'ורדן (כאשר באחד <math>\lambda =1</math> ובשני <math>\lambda =-1</math>), וכל אחד מהם בגודל 2. |
| | | | |
| − | מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2009_2_1_1.pdf]
| + | מכיון שבשניהם הבלוק הגדול ביותר הוא מגודל 2, נקבל כי צורת הגורדן היא |
| | | | |
| − | '''פתרון:'''
| + | <math>J_{A}=\begin{pmatrix} |
| − | נתבונן בפולינום האופייני של A (שהוא קל לחישוב, מטר' משולשית): <math>P_A(x) = (x-5)(x-4)(x-3)^{2}</math> לפי משפט, אותם גורמים לינאריים בדיוק יופיעו בפולינום המינימלי של A.
| + | J_{2}(1) & 0\\ |
| − | ברור שהריבוי הגיאומטרי של הע"ע 4,5 הוא 1. כמו כן הגורמים <math>x-4,x-5</math> יופיעו בפולינום המינימלי של A [לפי משפט], והמעלה שלהם לא תיהיה גדולה מ 1 כי פולינום מינימלי מחלק כל פולינום שמאפס את A, ובפרט את הפולינום האופייני, לפי משפט קיילי המילטון.
| + | 0 & J_{2}(-1) |
| − | לכן לפי משפט, הבלוקים הגדולים ביותר ביותר המתאימים לע"ע 4,5 הם בגודל של החזקה של <math>x-4,x-5</math> בפולינום המינימלי של A, בהתאמה. ולפי מה שאמרנו זה יהיה שווה בדיוק 1.
| + | \end{pmatrix}</math> |
| − | לכן צורת ז'ורדן של A היא משהו בסגנון של <math>J_1(5) \oplus J_1(4) \oplus B</math>
| + | |
| | | | |
| − | כמו כן, אין עוד בלוקים המתאימים לע"ע 4,5 כי הריבוי הגיאומטרי שלהם הוא בדיוק 1 = כמות הבלוקים שלהם בצורת ז'ורדן.
| + | נעשה אותו הדבר למטריצה B, ונקבל כי יש לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי, ולכן <math>J_{B}=\begin{pmatrix} |
| − | סך הבלוקים המתאימים לע"ע 3 הוא (ריבוי גאומטרי) כמימד מרחב האיפוס של <math>A-3I = \begin{pmatrix}
| + | J_{2}(1) & 0\\ |
| − | 2 & 0 & 0 & 0 \\ | + | 0 & J_{2}(-1) |
| − | 1 & 1 & 0 & 0\\
| + | |
| − | 2 & 3 & 0 & 0\\ | + | |
| − | 4 & 5 & 6 & 0
| + | |
| | \end{pmatrix}</math> | | \end{pmatrix}</math> |
| − | וזו מטר' מדורגת מדרגה 3 מסדר 4, ולכן מימד מרחב האיפוס שלה הוא בדיוק 1, ולכן סה"כ צורת ז'ורדן של A היא: <math>G = J_1(5) \oplus J_1(4) \oplus J_2(3)</math>
| |
| | | | |
| | + | וקבלנו כי <math>J_{A}=J_{B}</math> |
| | | | |
| − | | + | מ.ש.ל. |
| − | ב) נסמן את העמודות של P ב (v1,v2,v3,v4) בהתאמה. אזי: <math>G = P^{-1}AP</math> ולכן <math>PG=AP</math> ולכן לכל i רלוונטי <math>P*Ci(G) = A*v_i</math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | אז עבור i = 1,2 זה ממש קל כי אנחנו רק צריכים למצוא וקטורים עצמיים שמתאימים לע"ע 4,5... ברור שאנחנו יודעים לעשות את זה, לכן אני אחסוך לכולם[חוץ מלעצמי] חישוב מפרך ונגיע ל <math>v_1 = (2, 2, 5, 24), v_2 = (0, 1, 3, 23)</math>
| + | |
| − | נקבל לפי הנ"ל גם את המשוואות הבאות: <math>3v_3=Av_3, v_3 + 3v_4=Av_4</math> נעביר קצת אגפים ונקבל: <math>v_3 \in N(A-3I), v_3 = (A-3I)v_4 \in C(A-3I)</math> כאשר N מציין את מרחב האיפוס ו C מציין את מרחב העמודות.
| + | |
| − | | + | |
| − | כבר כתבנו למעלה את A-3I אז אפשר להסתכל עליה.
| + | |
| − | | + | |
| − | כבר אמרנו גם שמימד המרחב העצמי של הע"ע 3 הוא 1, ולכן ל <math>v_3</math> יש לנו רק אפשרות אחת (עד כדי כפל בסקלר שלא מעניין אותנו פה), ממש קל לראות שאותו וקטור הוא <math>v_3=(0, 0, 0, 1)</math>
| + | |
| − | ולכן קיבלנו משוואה: <math>(A-3I)v_4=v_3 = e_4 = (0, 0, 0, 1)</math> זו משוואה פשוטה למדי בארבעה נעלמים שאפשר לפתור עם דירוג [אגב, אין לזה פתרון יחיד]: <math>v_4 = (0, 0, \frac{1}{6}, a)</math> אבל נבחר a = 0 שיהיה נוח לכולם... <math>v_4 = (0, 0, \frac{1}{6}, 0)</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | סוף סוף קיבלנו את <math>P = \begin{pmatrix}
| + | |
| − | 2 & 0 & 0 & 0 \\
| + | |
| − | 2 & 1 & 0 & 0\\
| + | |
| − | 5 & 3 & 0 & \frac{1}{6}\\
| + | |
| − | 24 & 23 & 1 & 0
| + | |
| − | \end{pmatrix}</math>
| + | |
| − | זה מגניב כי אם נחליף את שורה 3,4 אנחנו רואים ש P היא הפיכה [דרגה 4], אז לא דיברנו שטויות לגמרי, יש ניצוץ של תקווה... טוב נו, אם בודקים זה אכן יוצא נכון [סתם עבודה טכנית, שלצערי עשיתי אותה]
| + | |
כן הן דומות. נוכיח שצורת הג'ורדן של שתיהן שווה, ונקבל ש: 
ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות נקבל ש 
נעשה אותו הדבר למטריצה B, ונקבל כי יש לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי, ולכן 
האם הן דומות? הוכח את טענת.
וגם כי הפולינום המינימלי של A שווה לפולינום האופייני ובסה"כ 
ובשני 
), וכל אחד מהם בגודל 2.
