הצגת המקור של פתרון 2(אלעד איטח)

נעבוד בדיוק באותה שיטת עבודה שבה השתמשתי בפתרון הקודם שלי:
נמצא את הפולינום האופייני של המטריצה: <math>P(x)=\left | xI-A \right |=\left | \begin{pmatrix}
x-5 & -2 & -1\\ 
0 & x-5 & 2\\ 
0 & 0 & x-5
\end{pmatrix} \right |=(x-5)^{3}</math>
לכן x=5 הוא הע"ע היחיד של A.

לפי משפט קיילי-המילטון: <math>P(A)=(A-5I)^{3}=0</math>
לכן המטריצה A-5I היא נילפוטנטית. אחרי חישובים נקבל ש- <math>(A-5I)^{3}=0 </math> אבל <math>(A-5I)^{2}\neq 0 </math>
לכן המטריצה A-5I היא מטריצה נילפוטנטית מאינדקס 3. 
לפי משפט ז'ורדן עבור מטריצות נילפוטנטיות,
קיימת ל-A-5I צורת ז'ורדן, שבה הבלוק הגדול ביותר (והיחיד) הוא בלוק ז'ורדן של ע"ע 0 מסדר 3.
לפיכך, קיימת מטריצה הפיכה P כך ש- <math>P^{-1}(A-5I)P=J=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1\\ 
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}= P^{-1}AP-5I</math>

לכן   <math>P^{-1}AP=5I+J=\begin{pmatrix}
5 & 1 &0 \\ 
0 & 5 &1 \\ 
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}=G</math>

כלומר, קיימת מטריצה P הפיכה כך ש- <math>P^{-1}AP=G</math> ו-G היא בלוק ז'ורדן
בעל ע"ע 5 מסדר 3. לסיכום, G הנ"ל היא צורת הז'ורדן של A המקורית.