הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון 4 (אלעד איטח)"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 1: שורה 1:
−
א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא <math>f_{A}(x)=\left | xI-A \right |=(x-1)^{2}(x-2)</math>
+
א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא <math>f_{A}\left(x\right)=\left|xI-A\right|=\left|\begin{array}{ccc}
 +
x-1 & 1 & 1\\
 +
0 & x-1 & 1\\
 +
0 & 0 & x-2
 +
\end{array}\right|=\left(x-1\right)^{2}\left(x-2\right)</math>
  
 
ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A.
 
ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A.
שורה 24: שורה 28:
 
בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2.
 
בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2.
 
לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא <math>   
 
לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא <math>   
 +
J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix}
 +
1 &1  &0 \\
 +
0 &1  &0 \\
 +
0 &0  &2
 +
\end{pmatrix} 
 +
</math>
 +
 +
 +
== דרך כמו שרשום בחוברת ==
 +
 +
(בלי לחשב את הריבוי הגאומטרי)
 +
 +
הבלוק הכי גדול הוא בסדר <math>\max\left\{ k|\left(x-t\right)^{k}/m_{A}\left(x\right)\right\}  </math>
 +
 +
שפה זה 2 ולכן יש בלוק <math>J_{2}(1)</math> ובלוק <math>J_{1}(2)</math>
 +
 +
ולכן צורת הז'ורדן של A היא <math> 
 
  J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix}
 
  J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix}
 
1 &1  &0 \\  
 
1 &1  &0 \\  

גרסה מ־09:53, 5 בינואר 2012

א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא f_{A}\left(x\right)=\left|xI-A\right|=\left|\begin{array}{ccc} x-1 & 1 & 1\\ 0 & x-1 & 1\\ 0 & 0 & x-2 \end{array}\right|=\left(x-1\right)^{2}\left(x-2\right)

ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A. אחרי חישוב נקבל ש- (A-I)(A-2I)\neq 0 כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את A. הפולינום האופייני של A הוא פולינום מתוקן ומהמעלה הנמוכה ביותר שמאפס את A (לפי משפט קיילי-המילטון). לכן הפולינום המינימאלי של A הוא m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2) ג. הע"ע של A הם שורשי הפולינום האופייני של A, שהם 2 ו-1.

ד. נגדיר k_{\lambda }-הריבוי האלגברי של ע"ע \lambda ו-m_{\lambda } הריבוי הגיאומטרי שלו. הריבוי האלגברי של ע"ע \lambda מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר k שעבורו (x-\lambda)^{k} מחלק את הפולינום האופייני של A. לכן, k_{1}=2 k_{2}=1 הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל-1. לכן, 1\leq m_{2}\leq 1\Rightarrow m_{2}=1 הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך, m_{1}=dimN(A-I)=dimN\begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ 0 &0 &1 \\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}=dim(Sp\left \{ e_{1} \right \})=1

ה.הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל-A. מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם (x-\lambda) בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2. לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}


דרך כמו שרשום בחוברת

(בלי לחשב את הריבוי הגאומטרי)

הבלוק הכי גדול הוא בסדר \max\left\{ k|\left(x-t\right)^{k}/m_{A}\left(x\right)\right\}

שפה זה 2 ולכן יש בלוק J_{2}(1) ובלוק J_{1}(2)

ולכן צורת הז'ורדן של A היא J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=פתרון_4_(אלעד_איטח)&oldid=18055