קוד:דוגמאות לערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

נציג כעת מספר דוגמאות למציאת ערכים עצמיים.

\begin{example}[מטריצת היחידה]

ניקח $A=I_n$, ונחפש את $\operatorname{spec}\left(A\right)$. נבדוק בשתי שיטות:

\begin{description}

\item[שיטה ראשונה - חישוב ישיר]

נניח ש-$I_n v=\lambda v$. מכאן, $v=\lambda v$, כלומר $\lambda = 1$, כלומר $\operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$.

\item[שיטה שנייה - לפי המשפט]

נשים לב כי $$\lambda I-A=\left ( \begin{matrix} \lambda-1 & &0 \\

& \ddots & \\ 

0 & & \lambda-1 \end{matrix} \right )$$ לכן, $\det\left ( \lambda I-A \right )=\left ( \lambda-1 \right )^n$ אם כן, $\lambda=1\Leftrightarrow\left(\lambda-1\right)^n=0$, ולכן $\operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$.

לסיכום, הערך העצמי של מטריצת היחידה הוא $1$, ומהחישוב שבחלק הראשון גילינו שכל הווקטורים הם וקטורים עצמיים שלו. זה אכן מתאים לדברים המוכרים - כל וקטור הכופלים במטריצת היחידה נשאר עצמו, המתיחה היא תמיד פי 1.

\end{description}

\end{example}

\begin{example}[מטריצה אלכסונית כללית]

נסמן $$A=D=\left ( \begin{matrix} \alpha_1 & &0 \\

& \ddots & \\ 

0 & & \alpha_n \end{matrix} \right )$$ נרצה לדעת מהו $\operatorname{spec}\left(D\right)$. על פי המשפט, נסתכל על $\lambda I-D$: $$\lambda I-D=\left ( \begin{matrix} \lambda-\alpha_1 & &0 \\

& \ddots & \\ 

0 & & \lambda-\alpha_n \end{matrix} \right )$$ הדטרמיננטה: $\lambda=\alpha_1,\dots,\alpha_n\Leftrightarrow\det\left(\lambda I-A\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(\lambda-\alpha_i \right )=0$.

קיבלנו ש-$\operatorname{spec}\left ( D \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \}$.

אכן, גם את התוצאה הזו יכולנו לצפות מראש! מטריצה אלכסונית מותחת בדיוק את וקטורי היחידה, $e_1,\dots,e_n$ פי $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ בהתאמה.

\end{example}

\begin{example}[מטריצה משולשת עליונה]

ניקח $$A=T=\left ( \begin{matrix} \alpha_1 & & \star\\

& \ddots & \\ 

0 & & \alpha_n \end{matrix} \right )$$ מטריצה משולשת עליונה.

על פי הוכחה דומה לזו של מטריצה אלכסונית - מקבלים $\operatorname{spec}\left ( T \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \}$.

\end{example}

\begin{example}

ניקח מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ את המטריצה $$A=\left ( \begin{matrix} 0 &1 \\ -1 &0 \end{matrix} \right )$$ אזי $$\lambda I-A=\left ( \begin{matrix} \lambda & -1\\ 1 & \lambda \end{matrix} \right )$$ לפי חישוב, $\det\left ( \lambda I-A \right )=\lambda^2+1=0$, אבל למשוואה זו אין פתרונות ב-$\mathbb{R}$.

אם כן, $\operatorname{spec}\left(A\right)=\emptyset$.

\end{example}