הבדלים בין גרסאות בדף "88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות סמסטר א תשעב"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏הודעות)
(←‏הודעות)
שורה 39: שורה 39:
 
<math>=y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2}</math>
 
<math>=y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2}</math>
  
−
עכשיו נוכל להשאיף <math>\omega \rightarrow \omega_0</math> ולקבל:
+
עכשיו נוכל להשאיף <math>\omega \rightarrow \omega_0</math> ולקבל (תוך כדי שימוש בכלל לופיטל):
  
 
<math>y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0}\frac{\frac{d}{d \omega} (\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t})}{\frac{d}{d \omega} (\omega_0^2-\omega^2)}=</math>
 
<math>y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0}\frac{\frac{d}{d \omega} (\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t})}{\frac{d}{d \omega} (\omega_0^2-\omega^2)}=</math>

גרסה מ־15:44, 8 בדצמבר 2011

88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות

קישורים

\ \Longleftarrowשאלות ותשובות\ \Longrightarrow

תרגילים באתר המרצה

מערכי התרגול

שיטת גרין עבור בעיית שפה

הודעות

העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין. שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל. --Michael 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)


לגבי התרגול היום (6.12.2011): הגענו לפתרון y=c_1\cos{\omega_0t}+c_2\sin{\omega_0t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}

ומשם בלי ממש להסביר איך, שינינו קצת את c_1 כדי שהגבול יתכנס. הדרך המלאה היא כך:

y(0)=c_1+\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}

y'(0)=\omega_0 c_2

(לא קשה לראות שזה נכון). אפשר לבודד את הקבועים:

c_1=y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}

c_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}

ולכן הפתרון הוא:

y=(y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2})\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}

=y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2}

עכשיו נוכל להשאיף \omega \rightarrow \omega_0 ולקבל (תוך כדי שימוש בכלל לופיטל):

y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0}\frac{\frac{d}{d \omega} (\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t})}{\frac{d}{d \omega} (\omega_0^2-\omega^2)}=

=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0} \frac{-t \sin{\omega t}}{-2\omega}=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\frac{t \sin{\omega_0 t}}{2\omega_0}

כאשר:

A_1=y(0) ו- A_2=\frac{y'(0)}{\omega_0} הם קבועים חופשיים.

רצוי מאוד שתשתמשו בדרך המלאה הזו, ולא בדרך הקצרה יותר שלמדנו היום. --Michael 22:53, 6 בדצמבר 2011 (IST)

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-240_משוואות_דיפרנציאליות_רגילות_סמסטר_א_תשעב&oldid=16729