גרסה אחרונה מ־18:28, 22 בפברואר 2012

88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות

קישורים

$\ \Longleftarrow$ שאלות ותשובות $\ \Longrightarrow$

תרגילים באתר המרצה

מערכי התרגול

שיטת גרין עבור בעיית שפה

קובץ הסבר על שיטת המשמיד (באנגלית)

טבלה של התמרות לפלס - יש גם דברים שלא למדנו

פתרון תרגיל 11

ציוני תרגיל

הודעות

חשוב: תאריך ההגשה של תרגיל 8 הוא עד יום ראשון הקרוב בשעה 12:00 לתא של פרופ' שיף (113) --Michael 18:02, 4 בינואר 2012 (IST)

העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין. שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל. --Michael 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)

העלתי את פתרון תרגיל 11 ואת ציוני התרגילים. מי שמוצא טעות נא להודיע לי --Michael 20:28, 22 בפברואר 2012 (IST)

לגבי התרגול היום (6.12.2011): הגענו לפתרון $y=c_1\cos{\omega_0t}+c_2\sin{\omega_0t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}$

ומשם בלי ממש להסביר איך, שינינו קצת את $c_1$ כדי שהגבול יתכנס. הדרך המלאה היא כך:

$y(0)=c_1+\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}$

$y'(0)=\omega_0 c_2$

(לא קשה לראות שזה נכון). אפשר לבודד את הקבועים:

$c_1=y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}$

$c_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}$

ולכן הפתרון הוא:

$y=(y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2})\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}$

$=y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2}$

עכשיו נוכל להשאיף $\omega \rightarrow \omega_0$ ולקבל (תוך כדי שימוש בכלל לופיטל):

$y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0}\frac{\frac{d}{d \omega} (\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t})}{\frac{d}{d \omega} (\omega_0^2-\omega^2)}=$

$=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0} \frac{-t \sin{\omega t}}{-2\omega}=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\frac{t \sin{\omega_0 t}}{2\omega_0}$

כאשר:

$A_1=y(0)$ ו- $A_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}$ הם קבועים חופשיים.

רצוי מאוד שתשתמשו בדרך המלאה הזו, ולא בדרך הקצרה יותר שלמדנו היום. --Michael 22:53, 6 בדצמבר 2011 (IST)

בתרגול היום דיברנו על מערכות הומוגניות עם מקדמים קבועים: הדבר הראשון שצריכים לעשות הוא למצוא ע"ע.

למקרה שתתקלו במד"ר בספרות, כדאי שתדעו את השמות של המקרים שנתקלנו בהם.

המקרה הראשון היה ע"ע פשוט ממשי - simple real eigenvalue

המקרה השני היה זוג ע"ע מרוכבים פשוטים - simple complex conjugate pair eigenvalues

המקרה השלישי היה ע"ע מריבוי אלגברי גבוה m שבכל זאת (למזלנו) ניתן למצוא לו m וקטורים עצמיים. לע"ע שכזה קוראים ע"ע שלם - complete eigenvalue

והמקרה הכי פחות קל, ע"ע מריבוי גבוה m שיש לו פחות מ-m ו"ע. ע"ע כזה נקרא ע"ע דפקטיבי - defective eigenvalue

פתרון יותר מפורט של המקרה האחרון:

רצינו לפתור את המד"ר $\vec{y}=A \vec{y}$ , כאשר $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

ל-A יש רק ע"ע אחד $\lambda=2$ . נחפש ו"ע $\vec{v}=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$ :

$A \vec{v}=\lambda \vec{v}$

$A \vec{v}=2 \vec{v}$

$(2I-A)\vec{v}=0$

$\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \vec{v}=0$

מקבלים את התנאי $b=0$ וניתן לקחת $a=0$ ולקבל ו"ע $\vec{v}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ולכן את הפתרון הקלאסי :

$\vec{v} e^{\lambda t}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} e^{2t}$

נראה שאין תקווה כי אי אפשר לבנות עוד פתרון כזה. אבל צריכים לחפש פתרון מהצורה $\vec{y}=e^{2t} \left( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}t+ \begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix} \right)$ .

מצד אחד:

$\vec{y}'=\left[e^{2t} \begin{pmatrix} at+c\\bt+d \end{pmatrix}\right] '=2e^{2t}\begin{pmatrix} at+c\\bt+d \end{pmatrix}+e^{2t}\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=e^{2t}\begin{pmatrix} 2at+2c+a\\2bt+2d+b \end{pmatrix}$

ומצד שני:

$A \vec{y}=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0&2 \end{pmatrix}\left[ e^{2t} \begin{pmatrix} at+c\\bt+d \end{pmatrix}\right]=e^{2t} \begin{pmatrix} 2at+2c+bt+d\\ 2bt+2d\end{pmatrix}$

כדי לקבל שוויון ביניהם, נצטרך:

$a=d$

$b=0$

( $c$ נשאר חופשי)

נציב זאת בניחוש ונקבל:

$\vec{y}=e^{2t} \left( \begin{pmatrix} a\\0 \end{pmatrix}t+\begin{pmatrix} c\\a \end{pmatrix}\right)=e^{2t} \begin{pmatrix} at+c\\a \end{pmatrix}=a \begin{pmatrix} t\\1 \end{pmatrix} e^{2t}+c \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} e^{2t}=c_1 \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} e^{2t}+c_2 \begin{pmatrix} t\\1 \end{pmatrix} e^{2t}$

בתרגול לקחתי c=0 ו-a=1 ובניתי פתרון נוסף שבכל מקרה הצטרף לפתרון הראשוני. סליחה על הבלבול.

--Michael 21:50, 22 בדצמבר 2011 (IST)

למרות שראיתם בהרצאה דוגמה לפתרון מערכת לא הומוגנית אני חושב שכדאי שאפתור עוד אחת כאן. נניח שרוצים לפתור את:

$\vec{y}'=\underbrace{\begin{pmatrix} 4 & -3\\8 & -6 \end{pmatrix}}_{A(t)} \vec{y}+\underbrace{\begin{pmatrix} t\\ e^t \end{pmatrix}}_{\vec{b}(t)}$

הדבר הראשון שצריכים לעשות הוא למצוא מטריצה יסודית כלשהי, בתרגול ראינו למשל את המטריצה:

$Y(t)=\begin{pmatrix} 3 & e^{-2t}\\4 & 2e^{-2t} \end{pmatrix}$

השלב הבא הוא לחשב את המטריצה ההופכית, המחשב נתן לי:

$Y^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}\\ -2e^{2t} & \frac{3e^{2t}}{2} \end{pmatrix}$

נחשב עכשיו את $Y^{-1}(t) \vec{b}(t)$ :

$Y^{-1}(t) \vec{b}(t)=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}\\ -2e^{2t} & \frac{3e^{2t}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t\\ e^t \end{pmatrix}=\left( \begin{array}{c} t-\frac{e^t}{2} \\ \frac{3 e^{3 t}}{2}-2 e^{2 t} t \end{array} \right)$

ניקח אינטגרל (אינטגרל של וקטור עושים רכיב-רכיב):

$\int{Y^{-1}(t) \vec{b}(t) dt}=\left( \begin{array}{c} \frac{t^2}{2}-\frac{e^t}{2}+k_1 \\ -e^{2 t} t+\frac{e^{2 t}}{2}+\frac{e^{3 t}}{2}+k_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \frac{t^2}{2}-\frac{e^t}{2} \\ -e^{2 t} t+\frac{e^{2 t}}{2}+\frac{e^{3 t}}{2} \end{array} \right)+\begin{pmatrix} k_1\\k_2 \end{pmatrix}$

כל מה שנותר לעשות הוא להכפיל במטריצה יסודית:

$Y(t)( \int{Y^{-1}(t) \vec{b}(t) dt}+\vec{k})= \left( \begin{array}{c} \frac{3 t^2}{2}-t-e^t+\frac{1}{2} \\ 2 t^2-2 t-e^t+1 \end{array} \right)+k_1 \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}+k_2 \begin{pmatrix} e^{-2t}\\2e^{-2t} \end{pmatrix}$

זהו בדיוק הפתרון הכללי של המערכת $(\vec{y})$ . אם היה נתון תנאי התחלה היינו צריכים למצוא את הקבועים החופשיים. --Michael 01:49, 27 בדצמבר 2011 (IST)

לגבי סוף התרגול היום: עסקנו במשוואה $4xy''+2y'+y=0$ . המשוואה האינדנציאלית נתנה לנו שני ערכים מותרים עבור $\alpha$ : $\alpha_{1,2}=0,\frac{1}{2}$ הגענו לפתרון אחד כאשר לקחנו $\alpha=0$ :

$y_1=a_0 \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n}{2n!} x^n}$ אמרנו שאם מדובר בתחום שבו x>0 ניתן לרשום אותו בצורה:

$y_1=a_0 \cos{\sqrt{x}}$ נגיע עכשי לפתרון השני, ניקח הפעם את $\alpha=\frac{1}{2}$ . הרקורסיה שלנו היא

$a_{n+1}=\frac{-a_n}{2(n+\frac{3}{2})(2n+2)}=\frac{-a_n}{(2n+2)(2n+3)}$

נמצא קצת מהמקדמים:

$a_1=\frac{-a_0}{2*3}$

$a_2=\frac{-a_1}{4*3}=\frac{a_0}{5*4*3*2}$

$a_3=\frac{-a_2}{7*6}=\frac{-a_0}{7!}$

כבר ניתן לנחש:

$a_n=\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!}$

אם כך, נקבל פתרון שני:

$y_2=x^\alpha \sum_{n=0}^\infty {a_n x^n}=x^\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty {\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!} x^n}=\sum_{n=0}^\infty {\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!} x^{n+\frac{1}{2}}}$

אם x חיובי נוכל לרשום אותו בצורה:

$y_2=\sum_{n=0}^\infty {\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!} \sqrt{x}^{2n+1}}=a_0 \sin{\sqrt{x}}$

הפתרון הכללי יהיה צירוף לינארי שלהם:

$y=c_1 y_1+c_2 y_2=C_1 \sum_{n=0}^\infty {\frac{(-1)^n}{(2n)!} x^n}+C_2 \sum_{n=0}^\infty {\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{n+\frac{1}{2}}}$

כאשר הקבועים הגדולים בלעו את $a_0$

הערה חשובה: שימו לב שלא תמיד ניתן לפתור את הרקורסיות (אפילו לא במונחים של פונקציית גמא). במקרה כזה רצוי שלפחות תפתחו את הטור לכמה איברים ראשונים.

--Michael 01:37, 3 בינואר 2012 (IST)

הנה דוגמא של מד"ר, כאשר אגף ימין הוא מוגדר למקוטעין:

$y''=\begin{cases} 2t & 0 \le t \le \frac{1}{2} \\ 2-2t & \frac{1}{2} \le t \le 1 \end{cases}=f(t), y(0)=y'(0)=0$

"כזכור", ניתן לרשום פונקצייה מוגדרת למקוטעין בעזרת פונקציית הביסייד עם שני פרמטרים כך:

$f(t)=2t H_{0,\frac{1}{2}}(t)+(2-2t) H_{\frac{1}{2},1}(t)$

(האמת שיש כאן קצת בלוף: יש בעיה בנקודות ה"תפירה" $t=\frac{1}{2}$ . לא אמרנו מה קורה לפונקציית הביסייד באפס. אבל בכל מקרה, להתמרת לפלס לא ממש אכפת מה קורה בנקודה בודדת)

נפשט קצת את $f(t)$ :

$f(t)=2t (H(t-0)-H(t-\frac{1}{2})+(2-2t) (H(t-\frac{1}{2})-H(t-1))=2t H(t)+(2-2t-2t) H(t-\frac{1}{2})-(2-2t) H(t-1)=$

$=2tH(t)-4 (t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2 (t-1)H(t-1)$

נגדיר פונקצייה נוספת לנוחיותנו:

$g(t)=t$

ואז ניתן לרשום:

$f(t)=2g(t)H(t)-4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1)$

את התמרת הלפלס של g קל לחשב:

$\mathcal{L} \{g(t)\}=\mathcal{L} \{t \}=\mathcal{L} \{t \cdot 1 \}=-\frac{d}{ds} \mathcal{L} \{ 1 \}=-\frac{d}{ds} \frac{1}{s}=- \left(-\frac{1}{s^2} \right)=\frac{1}{s^2}=G(s)$

(השתמשתי בתכונה מהשיעור: $\mathcal{L} \{ t \cdot (t) \}=-\frac{d}{ds} \mathcal{L} \{ f(t) \}$ )

נפעיל כעת התמרת לפלס על המד"ר שלנו:

$\mathcal{L} \{y''\}=\mathcal{L} \{f \}$

$s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=\mathcal{L} \{ 2g(t)H(t)-4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1) \}$

ע"פ תנאי ההתחלה אגף שמאל הוא בדיוק $s^2Y(s)$ . כדי לחשב את אגף ימין נשתמש בלינאריות של התמרת לפלס, וניזכר בתכונה:

$\mathcal{L} \{g(t-c) \cdot H(t-c)\}=e^{-cs} G(s)$

המשוואה היא:

$s^2Y(s)=2\mathcal{L} \{g(t) H(t) \}-4\mathcal{L} \{g(t-\frac{1}{2}) H(t-\frac{1}{2}) \}+2 \mathcal{L} \{g(t-1) H(t-1) \}$

$s^2 Y(s)=2 e^{-0 s}G(s)-4 e^{-\frac{1}{2} s} G(s)+2 e^{-1 s} G(s)$

$s^2 Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) G(s)$

$s^2 Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^2}$

$Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^4}$

$Y(s)=2\frac{1}{s^4}-4 e^{-\frac{1}{2} s}\frac{1}{s^4}+2 e^{-s}\frac{1}{s^4}$

נפעיל התמרת לפלס הפוכה כדי לקבל את הפתרון:

$y(t)=\mathcal{L}^{-1} \left\{ 2\frac{1}{s^4}-4 e^{-\frac{1}{2} s}\frac{1}{s^4}+2 e^{-s}\frac{1}{s^4} \right\}$

ע"פ לינאריות ההתמרה ההפוכה:

$y(t)=2\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^4} \right\}-4\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-\frac{1}{2} s} \frac{1}{s^4} \right\}+2\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-s} \frac{1}{s^4} \right\}$

לפי טבלת התמרת לפלס:

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^4} \right\}=\frac{t^3}{3!}=\frac{t^3}{6}$

אם כן:

$y(t)=2\frac{t^3}{6}-4 \frac{(t-\frac{1}{2})^3}{6}H \left(t-\frac{1}{2} \right)+2 \frac{(t-1)^3}{6} H(t-1)$

וזהו הפתרון. ניתן לבדוק שהוא רציף וגזיר אפילו בנקודה הבעייתית $t=\frac{1}{2}$

--Michael 23:27, 31 בינואר 2012 (IST)

הבדלים בין גרסאות בדף "88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות סמסטר א תשעב"

גרסה אחרונה מ־18:28, 22 בפברואר 2012

קישורים

הודעות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים

@@ שורה 9: / שורה 9: @@
 [http://www.math-wiki.com/images/0/0d/Green_boundary.pdf שיטת גרין עבור בעיית שפה]
+[http://www.math-wiki.com/images/5/50/Annihilator_Method.doc קובץ הסבר על שיטת המשמיד (באנגלית)]
+[http://www.vibrationdata.com/math/Laplace_Transforms.pdf טבלה של התמרות לפלס - יש גם דברים שלא למדנו]
+[http://www.math-wiki.com/images/d/d1/T11s.pdf פתרון תרגיל 11]
+[http://www.math-wiki.com/images/9/92/Odegradespdf.pdf ציוני תרגיל]
 =הודעות=
+'''חשוב: תאריך ההגשה של תרגיל 8 הוא עד יום ראשון הקרוב בשעה 12:00 לתא של פרופ' שיף (113)''' --[[משתמש:Michael|Michael]] 18:02, 4 בינואר 2012 (IST)
 העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין.
 שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל.
 --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)
+העלתי את פתרון תרגיל 11 ואת ציוני התרגילים. מי שמוצא טעות נא להודיע לי --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:28, 22 בפברואר 2012 (IST)
+----
+לגבי התרגול היום (6.12.2011):
+הגענו לפתרון <math>y=c_1\cos{\omega_0t}+c_2\sin{\omega_0t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}</math>
+ומשם בלי ממש להסביר איך, שינינו קצת את <math>c_1</math> כדי שהגבול יתכנס.
+הדרך המלאה היא כך:
+<math>y(0)=c_1+\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}</math>
+<math>y'(0)=\omega_0 c_2</math>
+(לא קשה לראות שזה נכון). אפשר לבודד את הקבועים:
+<math>c_1=y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}</math>
+<math>c_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}</math>
+ולכן הפתרון הוא:
+<math>y=(y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2})\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}</math>
+<math>=y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2}</math>
+עכשיו נוכל להשאיף <math>\omega \rightarrow \omega_0</math> ולקבל (תוך כדי שימוש בכלל לופיטל):
+<math>y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0}\frac{\frac{d}{d \omega} (\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t})}{\frac{d}{d \omega} (\omega_0^2-\omega^2)}=</math>
+<math>=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0} \frac{-t \sin{\omega t}}{-2\omega}=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\frac{t \sin{\omega_0 t}}{2\omega_0}</math>
+כאשר:
+<math>A_1=y(0)</math> ו- <math>A_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}</math> הם קבועים חופשיים.
+רצוי מאוד שתשתמשו בדרך המלאה הזו, ולא בדרך הקצרה יותר שלמדנו היום.
+--[[משתמש:Michael|Michael]] 22:53, 6 בדצמבר 2011 (IST)
+----
+בתרגול היום דיברנו על מערכות הומוגניות עם מקדמים קבועים:
+הדבר הראשון שצריכים לעשות הוא למצוא ע"ע.
+למקרה שתתקלו במד"ר בספרות, כדאי שתדעו את השמות של המקרים שנתקלנו בהם.
+המקרה הראשון היה ע"ע פשוט ממשי -  simple real eigenvalue
+המקרה השני היה זוג ע"ע מרוכבים פשוטים - simple complex conjugate pair eigenvalues
+המקרה השלישי היה ע"ע מריבוי אלגברי גבוה m שבכל זאת (למזלנו) ניתן למצוא לו m וקטורים עצמיים. לע"ע שכזה קוראים ע"ע שלם - complete eigenvalue
+והמקרה הכי פחות קל, ע"ע מריבוי גבוה m שיש לו '''פחות''' מ-m ו"ע. ע"ע כזה נקרא ע"ע דפקטיבי - defective eigenvalue
+פתרון יותר מפורט של המקרה האחרון:
+רצינו לפתור את המד"ר
+<math>\vec{y}=A \vec{y}</math>, כאשר <math>A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}</math>
+ל-A יש רק ע"ע אחד <math>\lambda=2</math>. נחפש ו"ע <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}</math>:
+<math>A \vec{v}=\lambda \vec{v}</math>
+<math>A \vec{v}=2 \vec{v}</math>
+<math>(2I-A)\vec{v}=0</math>
+<math>\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \vec{v}=0</math>
+מקבלים את התנאי <math>b=0</math> וניתן לקחת <math>a=0</math> ולקבל ו"ע <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}</math> ולכן את הפתרון הקלאסי :
+<math>\vec{v} e^{\lambda t}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} e^{2t}</math>
+נראה שאין תקווה כי אי אפשר לבנות עוד פתרון כזה. אבל צריכים לחפש פתרון מהצורה <math>\vec{y}=e^{2t} \left( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}t+ \begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix} \right)</math>.
+מצד אחד:
+<math>\vec{y}'=\left[e^{2t} \begin{pmatrix} at+c\\bt+d \end{pmatrix}\right] '=2e^{2t}\begin{pmatrix} at+c\\bt+d \end{pmatrix}+e^{2t}\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=e^{2t}\begin{pmatrix} 2at+2c+a\\2bt+2d+b \end{pmatrix}</math>
+ומצד שני:
+<math>A \vec{y}=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0&2 \end{pmatrix}\left[ e^{2t} \begin{pmatrix} at+c\\bt+d \end{pmatrix}\right]=e^{2t} \begin{pmatrix} 2at+2c+bt+d\\ 2bt+2d\end{pmatrix}</math>
+כדי לקבל שוויון ביניהם, נצטרך:
+<math>a=d</math>
+<math>b=0</math>
+(<math>c</math> נשאר חופשי)
+נציב זאת בניחוש ונקבל:
+<math>\vec{y}=e^{2t} \left( \begin{pmatrix} a\\0 \end{pmatrix}t+\begin{pmatrix} c\\a \end{pmatrix}\right)=e^{2t} \begin{pmatrix} at+c\\a \end{pmatrix}=a \begin{pmatrix} t\\1 \end{pmatrix} e^{2t}+c \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} e^{2t}=c_1 \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} e^{2t}+c_2 \begin{pmatrix} t\\1 \end{pmatrix} e^{2t}</math>
+בתרגול לקחתי c=0 ו-a=1 ובניתי פתרון נוסף שבכל מקרה הצטרף לפתרון הראשוני. סליחה על הבלבול.
+--[[משתמש:Michael|Michael]] 21:50, 22 בדצמבר 2011 (IST)
+למרות שראיתם בהרצאה דוגמה לפתרון מערכת לא הומוגנית אני חושב שכדאי שאפתור עוד אחת כאן. נניח שרוצים לפתור את:
+<math>\vec{y}'=\underbrace{\begin{pmatrix} 4 & -3\\8 & -6 \end{pmatrix}}_{A(t)} \vec{y}+\underbrace{\begin{pmatrix} t\\ e^t \end{pmatrix}}_{\vec{b}(t)}</math>
+הדבר הראשון שצריכים לעשות הוא למצוא מטריצה יסודית כלשהי, בתרגול ראינו למשל את המטריצה:
+<math>Y(t)=\begin{pmatrix} 3 & e^{-2t}\\4 & 2e^{-2t} \end{pmatrix}</math>
+השלב הבא הוא לחשב את המטריצה ההופכית, המחשב נתן לי:
+<math>Y^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}\\ -2e^{2t} & \frac{3e^{2t}}{2} \end{pmatrix}</math>
+נחשב עכשיו את <math>Y^{-1}(t) \vec{b}(t)</math>:
+<math>Y^{-1}(t) \vec{b}(t)=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}\\ -2e^{2t} & \frac{3e^{2t}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t\\ e^t \end{pmatrix}=\left(
+\begin{array}{c}
+ t-\frac{e^t}{2} \\
+ \frac{3 e^{3 t}}{2}-2 e^{2 t} t
+\end{array}
+\right) </math>
+ניקח אינטגרל (אינטגרל של וקטור עושים רכיב-רכיב):
+<math>\int{Y^{-1}(t) \vec{b}(t) dt}=\left(
+\begin{array}{c}
+ \frac{t^2}{2}-\frac{e^t}{2}+k_1 \\
+ -e^{2 t} t+\frac{e^{2 t}}{2}+\frac{e^{3 t}}{2}+k_2
+\end{array}
+\right)=\left(
+\begin{array}{c}
+ \frac{t^2}{2}-\frac{e^t}{2} \\
+ -e^{2 t} t+\frac{e^{2 t}}{2}+\frac{e^{3 t}}{2}
+\end{array}
+\right)+\begin{pmatrix} k_1\\k_2 \end{pmatrix}</math>
+כל מה שנותר לעשות הוא להכפיל במטריצה יסודית:
+<math>Y(t)( \int{Y^{-1}(t) \vec{b}(t) dt}+\vec{k})=
+\left(
+\begin{array}{c}
+ \frac{3 t^2}{2}-t-e^t+\frac{1}{2} \\
+t^2-2 t-e^t+1
+\end{array}
+\right)+k_1 \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}+k_2 \begin{pmatrix} e^{-2t}\\2e^{-2t} \end{pmatrix}</math>
+זהו בדיוק הפתרון הכללי של המערכת <math>(\vec{y})</math>. אם היה נתון תנאי התחלה היינו צריכים למצוא את הקבועים החופשיים.
+--[[משתמש:Michael|Michael]] 01:49, 27 בדצמבר 2011 (IST)
+----
+לגבי סוף התרגול היום: עסקנו במשוואה <math>4xy''+2y'+y=0</math>. המשוואה האינדנציאלית נתנה לנו שני ערכים מותרים עבור <math>\alpha</math>: <math>\alpha_{1,2}=0,\frac{1}{2}</math> הגענו לפתרון אחד כאשר לקחנו <math>\alpha=0</math>:
+<math>y_1=a_0 \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n}{2n!} x^n}</math>
+אמרנו שאם מדובר בתחום שבו x>0 ניתן לרשום אותו בצורה:
+<math>y_1=a_0 \cos{\sqrt{x}}</math>
+נגיע עכשי לפתרון השני, ניקח הפעם את <math>\alpha=\frac{1}{2}</math>. הרקורסיה שלנו היא
+<math>a_{n+1}=\frac{-a_n}{2(n+\frac{3}{2})(2n+2)}=\frac{-a_n}{(2n+2)(2n+3)}</math>
+נמצא קצת מהמקדמים:
+<math>a_1=\frac{-a_0}{2*3}</math>
+<math>a_2=\frac{-a_1}{4*3}=\frac{a_0}{5*4*3*2}</math>
+<math>a_3=\frac{-a_2}{7*6}=\frac{-a_0}{7!}</math>
+כבר ניתן לנחש:
+<math>a_n=\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!}</math>
+אם כך, נקבל פתרון שני:
+<math>y_2=x^\alpha \sum_{n=0}^\infty {a_n x^n}=x^\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty {\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!} x^n}=\sum_{n=0}^\infty {\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!} x^{n+\frac{1}{2}}}</math>
+אם x חיובי נוכל לרשום אותו בצורה:
+<math>y_2=\sum_{n=0}^\infty {\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!} \sqrt{x}^{2n+1}}=a_0 \sin{\sqrt{x}}</math>
+הפתרון הכללי יהיה צירוף לינארי שלהם:
+<math>y=c_1 y_1+c_2 y_2=C_1 \sum_{n=0}^\infty {\frac{(-1)^n}{(2n)!} x^n}+C_2 \sum_{n=0}^\infty {\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{n+\frac{1}{2}}}</math>
+כאשר הקבועים הגדולים בלעו את <math>a_0</math>
+הערה חשובה: שימו לב שלא תמיד ניתן לפתור את הרקורסיות (אפילו לא במונחים של פונקציית גמא). במקרה כזה רצוי שלפחות תפתחו את הטור לכמה איברים ראשונים.
+--[[משתמש:Michael|Michael]] 01:37, 3 בינואר 2012 (IST)
+----
+הנה דוגמא של מד"ר, כאשר אגף ימין הוא מוגדר למקוטעין:
+<math>y''=\begin{cases} 2t & 0 \le t \le \frac{1}{2} \\ 2-2t & \frac{1}{2} \le t \le 1 \end{cases}=f(t), y(0)=y'(0)=0</math>
+"כזכור", ניתן לרשום פונקצייה מוגדרת למקוטעין בעזרת פונקציית הביסייד עם שני פרמטרים כך:
+<math>f(t)=2t H_{0,\frac{1}{2}}(t)+(2-2t) H_{\frac{1}{2},1}(t)</math>
+(האמת שיש כאן קצת בלוף: יש בעיה בנקודות ה"תפירה" <math>t=\frac{1}{2}</math>. לא אמרנו מה קורה לפונקציית הביסייד באפס. אבל בכל מקרה, להתמרת לפלס לא ממש אכפת מה קורה בנקודה בודדת)
+נפשט קצת את <math>f(t)</math>:
+<math>f(t)=2t (H(t-0)-H(t-\frac{1}{2})+(2-2t) (H(t-\frac{1}{2})-H(t-1))=2t H(t)+(2-2t-2t) H(t-\frac{1}{2})-(2-2t) H(t-1)=</math>
+<math>=2tH(t)-4 (t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2 (t-1)H(t-1)</math>
+נגדיר פונקצייה נוספת לנוחיותנו:
+<math>g(t)=t</math>
+ואז ניתן לרשום:
+<math>f(t)=2g(t)H(t)-4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1)</math>
+את התמרת הלפלס של g קל לחשב:
+<math>\mathcal{L} \{g(t)\}=\mathcal{L} \{t \}=\mathcal{L} \{t \cdot 1 \}=-\frac{d}{ds} \mathcal{L} \{ 1 \}=-\frac{d}{ds} \frac{1}{s}=- \left(-\frac{1}{s^2} \right)=\frac{1}{s^2}=G(s)</math>
+(השתמשתי בתכונה מהשיעור: <math>\mathcal{L} \{ t \cdot (t) \}=-\frac{d}{ds} \mathcal{L} \{ f(t) \}</math>)
+נפעיל כעת התמרת לפלס על המד"ר שלנו:
+<math>\mathcal{L} \{y''\}=\mathcal{L} \{f \}</math>
+<math>s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=\mathcal{L} \{ 2g(t)H(t)-4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1) \}</math>
+ע"פ תנאי ההתחלה אגף שמאל הוא בדיוק <math>s^2Y(s)</math>. כדי לחשב את אגף ימין נשתמש בלינאריות של התמרת לפלס, וניזכר בתכונה:
+<math>\mathcal{L} \{g(t-c) \cdot H(t-c)\}=e^{-cs} G(s)</math>
+המשוואה היא:
+<math>s^2Y(s)=2\mathcal{L} \{g(t) H(t) \}-4\mathcal{L} \{g(t-\frac{1}{2}) H(t-\frac{1}{2}) \}+2 \mathcal{L} \{g(t-1) H(t-1) \}</math>
+<math>s^2 Y(s)=2 e^{-0 s}G(s)-4 e^{-\frac{1}{2} s} G(s)+2 e^{-1 s} G(s)</math>
+<math>s^2 Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) G(s)</math>
+<math>s^2 Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^2}</math>
+<math>Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^4}</math>
+<math>Y(s)=2\frac{1}{s^4}-4 e^{-\frac{1}{2} s}\frac{1}{s^4}+2 e^{-s}\frac{1}{s^4}</math>
+נפעיל התמרת לפלס הפוכה כדי לקבל את הפתרון:
+<math>y(t)=\mathcal{L}^{-1} \left\{  2\frac{1}{s^4}-4 e^{-\frac{1}{2} s}\frac{1}{s^4}+2 e^{-s}\frac{1}{s^4} \right\}</math>
+ע"פ לינאריות ההתמרה ההפוכה:
+<math>y(t)=2\mathcal{L}^{-1} \left\{  \frac{1}{s^4} \right\}-4\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-\frac{1}{2} s} \frac{1}{s^4}  \right\}+2\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-s} \frac{1}{s^4}  \right\}</math>
+לפי טבלת התמרת לפלס:
+<math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^4} \right\}=\frac{t^3}{3!}=\frac{t^3}{6}</math>
+אם כן:
+<math>y(t)=2\frac{t^3}{6}-4 \frac{(t-\frac{1}{2})^3}{6}H \left(t-\frac{1}{2} \right)+2 \frac{(t-1)^3}{6} H(t-1)</math>
+וזהו הפתרון. ניתן לבדוק שהוא רציף וגזיר אפילו בנקודה הבעייתית <math>t=\frac{1}{2}</math>
+--[[משתמש:Michael|Michael]] 23:27, 31 בינואר 2012 (IST)