88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות סמסטר א תשעב

88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות

קישורים

$\ \Longleftarrow$שאלות ותשובות$\ \Longrightarrow$

תרגילים באתר המרצה

מערכי התרגול

שיטת גרין עבור בעיית שפה

קובץ הסבר על שיטת המשמיד (באנגלית)

הודעות

העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין. שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל. --Michael 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)

---

לגבי התרגול היום (6.12.2011): הגענו לפתרון $y=c_1\cos{\omega_0t}+c_2\sin{\omega_0t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}$

ומשם בלי ממש להסביר איך, שינינו קצת את $c_1$ כדי שהגבול יתכנס. הדרך המלאה היא כך:

$y(0)=c_1+\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}$

$y'(0)=\omega_0 c_2$

(לא קשה לראות שזה נכון). אפשר לבודד את הקבועים:

$c_1=y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}$

$c_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}$

ולכן הפתרון הוא:

$y=(y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2})\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}$

$=y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2}$

עכשיו נוכל להשאיף $\omega \rightarrow \omega_0$ ולקבל (תוך כדי שימוש בכלל לופיטל):

$y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0}\frac{\frac{d}{d \omega} (\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t})}{\frac{d}{d \omega} (\omega_0^2-\omega^2)}=$

$=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0} \frac{-t \sin{\omega t}}{-2\omega}=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\frac{t \sin{\omega_0 t}}{2\omega_0}$

כאשר:

$A_1=y(0)$ ו- $A_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}$ הם קבועים חופשיים.

רצוי מאוד שתשתמשו בדרך המלאה הזו, ולא בדרך הקצרה יותר שלמדנו היום. --Michael 22:53, 6 בדצמבר 2011 (IST)