88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות סמסטר א תשעב

88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות

קישורים

$\ \Longleftarrow$שאלות ותשובות$\ \Longrightarrow$

תרגילים באתר המרצה

מערכי התרגול

שיטת גרין עבור בעיית שפה

קובץ הסבר על שיטת המשמיד (באנגלית)

הודעות

העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין. שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל. --Michael 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)

---

לגבי התרגול היום (6.12.2011): הגענו לפתרון $y=c_1\cos{\omega_0t}+c_2\sin{\omega_0t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}$

ומשם בלי ממש להסביר איך, שינינו קצת את $c_1$ כדי שהגבול יתכנס. הדרך המלאה היא כך:

$y(0)=c_1+\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}$

$y'(0)=\omega_0 c_2$

(לא קשה לראות שזה נכון). אפשר לבודד את הקבועים:

$c_1=y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}$

$c_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}$

ולכן הפתרון הוא:

$y=(y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2})\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}$

$=y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2}$

עכשיו נוכל להשאיף $\omega \rightarrow \omega_0$ ולקבל (תוך כדי שימוש בכלל לופיטל):

$y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0}\frac{\frac{d}{d \omega} (\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t})}{\frac{d}{d \omega} (\omega_0^2-\omega^2)}=$

$=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0} \frac{-t \sin{\omega t}}{-2\omega}=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\frac{t \sin{\omega_0 t}}{2\omega_0}$

כאשר:

$A_1=y(0)$ ו- $A_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}$ הם קבועים חופשיים.

רצוי מאוד שתשתמשו בדרך המלאה הזו, ולא בדרך הקצרה יותר שלמדנו היום. --Michael 22:53, 6 בדצמבר 2011 (IST)

---

בתרגול היום דיברנו על מערכות הומוגניות עם מקדמים קבועים: הדבר הראשון שצריכים לעשות הוא למצוא ע"ע.

למקרה שתתקלו במד"ר בספרות, כדאי שתדעו את השמות של המקרים שנתקלנו בהם.

המקרה הראשון היה ע"ע פשוט ממשי - simple real eigenvalue

המקרה השני היה זוג ע"ע מרוכבים פשוטים - simple complex conjugate pair eigenvalues

המקרה השלישי היה ע"ע מריבוי אלגברי גבוה m שבכל זאת (למזלנו) ניתן למצוא לו m וקטורים עצמיים. לע"ע שכזה קוראים ע"ע שלם - complete eigenvalue

והמקרה הכי פחות קל, ע"ע מריבוי גבוה m שיש לו פחות מ-m ו"ע. ע"ע כזה נקרא ע"ע דפקטיבי - defective eigenvalue

פתרון יותר מפורט של המקרה האחרון:

רצינו לפתור את המד"ר $\vec{y}=A \vec{y}$, כאשר $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

ל-A יש רק ע"ע אחד $\lambda=2$. נחפש ו"ע $\vec{v}=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$:

$A \vec{v}=\lambda \vec{v}$

$A \vec{v}=2 \vec{v}$

$(2I-A)\vec{v}=0$

$\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \vec{v}=0$

מקבלים את התנאי $b=0$ וניתן לקחת $a=0$ ולקבל ו"ע $\vec{v}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ולכן את הפתרון הקלאסי :

$\vec{v} e^{\lambda t}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} e^{2t}$

נראה שאין תקווה כי אי אפשר לבנות עוד פתרון כזה. אבל צריכים לחפש פתרון מהצורה $\vec{y}=e^{2t} \left( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}t+ \begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix} \right)$.

מצד אחד:

$\vec{y}'=\left[e^{2t} \begin{pmatrix} at+c\\bt+d \end{pmatrix}\right] '=2e^{2t}\begin{pmatrix} at+c\\bt+d \end{pmatrix}+e^{2t}\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=e^{2t}\begin{pmatrix} 2at+2c+a\\2bt+2d+b \end{pmatrix}$

ומצד שני:

$A \vec{y}=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0&2 \end{pmatrix}\left[ e^{2t} \begin{pmatrix} at+c\\bt+d \end{pmatrix}\right]=e^{2t} \begin{pmatrix} 2at+2c+bt+d\\ 2bt+2d\end{pmatrix}$

כדי לקבל שוויון ביניהם, נצטרך:

$a=d$

$b=0$

($c$ נשאר חופשי)

נציב זאת בניחוש ונקבל:

$\vec{y}=e^{2t} \left( \begin{pmatrix} a\\0 \end{pmatrix}t+\begin{pmatrix} c\\a \end{pmatrix}\right)=e^{2t} \begin{pmatrix} at+c\\a \end{pmatrix}=a \begin{pmatrix} t\\1 \end{pmatrix} e^{2t}+c \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} e^{2t}=c_1 \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} e^{2t}+c_2 \begin{pmatrix} t\\1 \end{pmatrix} e^{2t}$

בתרגול לקחתי c=0 ו-a=1 ובניתי פתרון נוסף שבכל מקרה הצטרף לפתרון הראשוני. סליחה על הבלבול.

--Michael 21:50, 22 בדצמבר 2011 (IST)

למרות שראיתם בהרצאה דוגמה לפתרון מערכת לא הומוגנית אני חושב שכדאי שאפתור עוד אחת כאן. נניח שרוצים לפתור את:

$\vec{y}'=\underbrace{\begin{pmatrix} 4 & -3\\8 & -6 \end{pmatrix}}_{A(t)} \vec{y}+\underbrace{\begin{pmatrix} t\\ e^t \end{pmatrix}}_{\vec{b}(t)}$

הדבר הראשון שצריכים לעשות הוא למצוא מטריצה יסודית כלשהי, בתרגול ראינו למשל את המטריצה:

$Y(t)=\begin{pmatrix} 3 & e^{-2t}\\4 & 2e^{-2t} \end{pmatrix}$

השלב הבא הוא לחשב את המטריצה ההופכית, המחשב נתן לי:

$Y^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}\\ -2e^{2t} & \frac{3e^{2t}}{2} \end{pmatrix}$

נחשב עכשיו את $Y^{-1}(t) \vec{b}(t)$:

$Y^{-1}(t) \vec{b}(t)=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}\\ -2e^{2t} & \frac{3e^{2t}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t\\ e^t \end{pmatrix}=\left( \begin{array}{c} t-\frac{e^t}{2} \\ \frac{3 e^{3 t}}{2}-2 e^{2 t} t \end{array} \right)$

ניקח אינטגרל (אינטגרל של וקטור עושים רכיב-רכיב):

$\int{Y^{-1}(t) \vec{b}(t) dt}=\left( \begin{array}{c} \frac{t^2}{2}-\frac{e^t}{2}+k_1 \\ -e^{2 t} t+\frac{e^{2 t}}{2}+\frac{e^{3 t}}{2}+k_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \frac{t^2}{2}-\frac{e^t}{2} \\ -e^{2 t} t+\frac{e^{2 t}}{2}+\frac{e^{3 t}}{2} \end{array} \right)+\begin{pmatrix} k_1\\k_2 \end{pmatrix}$

כל מה שנותר לעשות הוא להכפיל במטריצה יסודית:

$Y(t)( \int{Y^{-1}(t) \vec{b}(t) dt}+\vec{k})= \left( \begin{array}{c} \frac{3 t^2}{2}-t-e^t+\frac{1}{2} \\ 2 t^2-2 t-e^t+1 \end{array} \right)+k_1 \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}+k_2 \begin{pmatrix} e^{-2t}\\2e^{-2t} \end{pmatrix}$

זהו בדיוק הפתרון הכללי של המערכת $(\vec{y})$. אם היה נתון תנאי התחלה היינו צריכים למצוא את הקבועים החופשיים.